Теоретико-множественный подход к построению системы целых неотрицательных чисел

         Числа возникли из потребности счета и измерения и претерпели длительный путь исторического развития. Было время, когда люди не умели считать. Чтобы сравнивать конечные множества, устанавливали взаимно однозначное соответствие между данными множествами или между одним из множеств и подмножеством другого множества, т.е. на этом этапе человек воспринимал численность предметов без их пересчета. Например, столько же предметов, сколько рук у человека. При таком сравнении множества должны быть обозримы.

         В результате развития человек пришел к сравнению множеств путем применения множеств посредников: камешков, пальцев, палочек. Эти множества представляли собой зачатки понятия натурального числа, хотя речь шла, например, о пяти камешках, а не о числе «пять» вообще.

         После этого человек установил то общее, что существует, например, между пятью пальцами и пятью яблоками, т.е. произошло отвлечение от природы элементов множеств посредников и возникло представление о натуральном числе. Говорили не « одно яблоко», «два яблока»…, а один, два, три и т.д.

         Со временем люди научились не только называть числа, но и обозначать их, выполнять различные действия над ними. Запас чисел, которые употребляли, ведя счет, увеличивался постепенно. Постепенно сложилось и представление  о бесконечности множества натуральных чисел.

         Возникновение понятия натурального числа было важнейшим моментом развития математики. Появилась возможность изучать эти числа независимо от конкретных задач, в связи с которыми они возникли. Теоретическая наука, которая стала изучать числа и действия над ними, получила название «арифметика».

         Арифметика возникла в странах Древнего Востока: Вавилоне, Китае, Индии и Египте. Накопленные в этих странах математические знания были развиты и продолжены учеными Древней Греции. В средние века большой вклад в развитие арифметики внесли математики Индии, стран арабского мира, а начиная с ХIII  века – европейские ученые.

         Термин «натуральное число» впервые употребил в V в. Римский ученый А. Боэций, который известен как автор книги «Введение в арифметику», которая до ХVI века была образцом для всей европейской математики. Во второй половине ХIХ в. натуральные числа оказались фундаментом  всей математической науки. В связи с этим появилась необходимость в строгом логическом обосновании понятия натурального числа, в систематизации того, что с ним связано. Так были разработаны различные построения теории натуральных чисел.