Позиционные системы счисления, отличные от десятичной

Основанием позиционной системы счисления может быть не только число 10, но и вообще любое натуральное число p≥2. Система счисления с основанием p называется p-ичной. Так, если p = 2, то – двоичной, если p = 8 – восьмеричной, если р = 10 – десятичной.

Для записи чисел в системе с основанием р необходимо р символов. Принято использовать знаки десятичной системы счисления: 0, 1, 2, ..., p – 1. Например, числа в троичной системе счисления записывают при помощи символов 0, 1, 2, а в пятеричной – при помощи символов 0, 1, 2, 3, 4.

Записью натурального числа х в системе счисления с основанием р называется его представление в виде: х = аn рn+ аn-1 рn-1 + ... + +a1p+ а0 (1), где коэффициенты аn , аn-1, … , а1 ,а0 принимают значения 0, 1, 2, …, p-1 и а n≠ 0.

Вместо представления (1) число x записывают кратко Позиционные системы счисления, отличные от десятичной. Например, если p = 4, то число x = 2·43 + 0·42 + 3·4 + 1 можно записать в виде 20314, причем читать его следует так: «два, ноль, три, один в четверичной системе счисления».

Сравнение чисел в системе счисления с основанием р (р ≠ 10) выполняется так же, как и в десятичной системе. Так, 21013 < 21023, поскольку при одинаковом числе разрядов и совпадении трех цифр старших разрядов число единиц в первом числе меньше числа единиц во втором.

Арифметические действия над числами в позиционных системах счисления с основанием р (р ≠ 10) выполняются по тем же правилам, что и в десятичной системе счисления. Надо лишь иметь для системы с основанием р соответствующие таблицы сложения и умножения однозначных чисел.

Задача 10. Составить таблицы сложения и умножения однозначных чисел в троичной системе счисления.

Решение. Однозначные числа в ней – это 0, 1, 2. Число 3 записывается 10. Число 4 имеет вид 113, так как 4 = 1·3 + 1 = 113.

Задача 11. Выполнить действия над числами:

а) 12213 + 1223; в) 1223 · 223;

б) 21103 – 2123; г) 100113 : 123.

Значит, а) 12213 + 1223 = 21203; б) 21103 – 2123 = 11213;

в) 1223 · 223 = 120013; г) 100113 : 123 = 1223.

Задача 12. Составить таблицы сложения и умножения однозначных чисел в пятеричной системе счисления.



Решение. Однозначные числа в ней – это 0, 1, 2, 3, 4. Число 5 записывается 10. Число 6 имеет вид 115, так как 6 = 1·5 + 1 = 115. Число 7 имеет вид 125, так как 7 = 1·5 + 2 = 125. Число 8 имеет вид 135, так как 8 = 1·5 + 3 = 135. Число 9 имеет вид 145, так как 9 = 1·5 + 4 = 145. Число 12 имеет вид 225, так как 12=2·5+2=225. Число 16 имеет вид 315, так как 16 = 3·5 + 1 = 315.