Признаки делимости на составные числа

Теорема (общий признак делимости на составное число): Для того, чтобы натуральное число х делилось на составное число n = bc, где числа b  и c таковы, что D(b.c) = 1, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на  b и на c.

Доказательство: Пусть число х делится на n. Тогда, из того, что х делится на n и n делится  на b (по свойству транзитивности отношения делимости) следует, что х делится на  b. Из того, что х делится на n и n делится  на с (по свойству транзитивности отношения делимости) следует, что х делится на с. Таким образом, мы показали, что для того, чтобы натуральное число х делилось на составное число n = bc, необходимо, чтобы оно делилось на b и на c.

Докажем достаточность условия. Так как х делится на b и на c, то х – общее кратное чисел b и c. Но любое общее кратное делится на их наименьшее общее кратно. Значит, х делится на К(b, c). Поскольку D(b.c) = 1, то  К(b, c) = х. Следовательно, х делится на  n.

Признак делимости на 6:

Для того, чтобы число х делилось на 6, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 2 и на 3.

Признак делимости на 12:

Для того, чтобы число х делилось на 12, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 3 и на 4.

Признак делимости на 15:

Для того, чтобы число х делилось на 15, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 3 и на 5.

Доказательство этих признаков вытекает из доказательств общего признака делимости на составное число.

Заметим, что выше данную теорему можно применять многократно. Рассмотрим, например, признак делимости на 60. Для того, чтобы число делилось на 60, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 4 и на 15. Но в свою очередь, число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 5. Поэтому признак делимости на 60 может быть сформулирован иначе: для того, чтобы число делилось на 60, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 4, на 3, на 5.

Рассмотрим задачу. Установим, делятся ли числа 1548 и 942 на 18. Вначале сформулируем признак делимости на 18: для того, чтобы число делилось на 18, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 2 и на 9. Пользуясь признаками делимости на 2 и на 9, устанавливаем, что 1548 делится на 2 и на 9, следовательно, делится ни на 18.  число 942 делится на 2, но не делится на 9. следовательно, число 942 на 18 не делится.