Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей

В практической деятельности широко используют дроби, знаменатели которых являются степенями 10. Их называют десятичными.

Десятичной называется дробь вида , где т и п – натуральные числа.

Десятичные дроби принято записывать без знаменателя. Например, дробь  записывают 3,67, а дробь  – в виде 0,007.

Как известно, сравнение десятичных дробей и арифметические действия над ними легко выполнять, если дроби имеют один и тот же знаменатель.

В основе приведения десятичных дробей к общему знаменателю лежит следующее утверждение: если к десятичной дроби  приписать справа любое число нулей, то получится десятичная дробь, равная данной.

Это свойство позволяет приводить десятичные дроби к общему знаменателю следующим образом: если у одной дроби после запятой стоит n цифр, а у другой р цифр, причем n < p, то для приведения их к общему знаменателю достаточно к первой дроби приписать справа p – n нулей. Тогда у обеих дробей после запятой будет стоять поровну цифр, а это значит, что они имеют один и тот же знаменатель.

Пользуясь этим правилом, легко выполнять сравнение десятичных дробей, так как оно сводится к сравнению натуральных чисел: чтобы сравнить две десятичные дроби, надо уравнять в них число десятичных знаков после запятой, отбросить запятые и сравнить получившиеся натуральные числа.

Задача 56. Сравнить числа 4,62517 и 4,623.

Решение. 4,62517 > 4,623, так как 4,623 = 4,62300, а              4,62517 > 4,62300, так как 462517 > 462300.

Как известно, для дробей, имеющих одинаковые знаменатели, сложение и вычитание сводится к соответствующим операциям над их числителями. Это позволяет свести сложение и вычитание десятичных дробей к действиям над натуральными числами.

Задача 57. Выполнить действия: а) 2,54 + 3,7126; б) 3,7126 – 2,54.

Решение. а) 2,54 + 3,7126 = 2,5400 + 3,7126 = =

=  = 6,2526;

б) 3,7126 – 2,54 = 3,7126 – 2,5400 =  = 1,1726.

Умножение и деление десятичных дробей не требует приведения их к общему знаменателю, но они также сводятся к соответствующим действиям над натуральными числами.

Для того чтобы несократимая дробь  была равна десятичной, необходимо и достаточно, чтобы в разложении ее знаменателя n на простые множители входили лишь простые числа 2 и 5.

Задача 58. Можно ли записать в виде десятичной дроби  и ?

Решение. Дробь  можно записать в виде десятичной: она несократима и 80 = 24 × 5.

Дробь  несократима, но 15 = 3 × 5. Поскольку в разложение знаменателя этой дроби входит множитель, отличный от 2 и 5, то дробь  нельзя записать в виде десятичной.

Любую конечную десятичную дробь можно записать в виде бесконечной, приписав к ней справа последовательность нулей.

Бесконечные десятичные дроби, которые получаются при записи положительного рационального числа, обладают особенностью – они являются периодическими. Это значит, что, начиная с некоторой цифры, они образуются бесконечным повторением одной и той же группы цифр. Например, число  выражается бесконечной десятичной дробью 0,272727…27…, а число  – бесконечной десятичной дробью 0,1454545…45… Для краткости первую из дробей пишут в виде 0,(27), а вторую – в виде 0,1(45). В скобки заключают повторяющуюся группу цифр, которую называют периодом этой дроби. Отметим, что вместо 0,(27) можно было писать 0,2(72), но эта запись более длинная.

Любое положительное рациональное число представимо бесконечной периодической десятичной дробью.

Задача 59. Представить число b в виде несократимых обыкновенных дробей:  а) 0,072; б) 0,(27); в) 0,5(8).

Решение.  а) 0,072 = ;  

б) дробь 0,(27) – чисто периодическая дробь. Чтобы найти соответствующую ей обыкновенную дробь, надо в числителе записать период, а в знаменателе столько девяток, сколько цифр в периоде дроби:

0,(27) = ;

в) дробь 0,5(8) – смешанная периодическая десятичная дробь. Чтобы найти соответствующую ей обыкновенную дробь, надо в числителе записать разность между числом, стоящим после запятой до начала второго периода и числом, стоящим до начала первого периода, а в знаменателе написать столько девяток, сколько цифр в периоде, и столько нулей, сколько цифр до начала первого периода:  0,5(8) = .

Упражнения для самостоятельной работы

1. Запишите дроби , ,  в виде десятичных.

2.  Запишите числа 7,11; 0,45; 13,745 в виде несократимых обыкновенных дробей.

3.  Сформулируйте правила сложения и вычитания десятичных дробей; выполните действия:

а) 8,23 + 3,568; б) 7,395 – 6,27; в) 12,364 + 17,729; г) 15,36 – 9,68.

4. Сформулируйте правило умножения десятичных дробей; проиллюстрируйте его на примере умножения чисел 1,32 и 0,4.

5. Сформулируйте правило деления десятичных дробей; проиллюстрируйте его на примере деления числа 4,62 на 0,2.

6. Какие из следующих чисел можно записать в виде конечных десятичных дробей:  а) ; б) ; в) ; г) ?

7. Следующие обыкновенные дроби запишите в виде десятичных:

а) ; б) ; в) ; г) .

8. Следующие числа представьте в виде несократимых обыкновенных дробей:

а) 0,03;  б) 10,0018;  в) 0,(23);  г) 2,14(3);  д) 6,041(27).