Основные методы решения алгебраических неравенств
a и b – действительные числа, а х – неизвестное.
В зависимости от коэффициентов a и b решением линейного неравенства может быть либо неограниченный промежуток, либо вся числовая прямая, либо пустое множество.
Задача. Решить неравенство 4x + 5 > 2(2х – 3).
Решение. 4x + 5 > 2(2х – 3) Û 4x + 5 > 4х – 6 Û 4x + 5 – 4х + 6 > 0 Û
Û 11 > 0 Þ х Î R.
2. Квадратные неравенства имеют вид ax2 + bx + c > 0 (< 0), a ¹ 0.
Решение квадратных неравенств основано на применении свойств квадратичной функции, которые допускают наглядную геометрическую интерпретацию, а также методом интервалов.
Задача. Решить неравенство 3x2 – 7x + 2 > 0.
Решение. Найдем дискриминант квадратного трехчлена 3x2 – 7x + 2: D = 49 – 24 = 25. Вычислим его корни: 
.
Схематично выполним соответствующий рисунок параболы:
По рисунку найдем решение данного неравенства:
.
3. Алгебраические неравенства высших степеней, т.е. неравенства вида anxn + an-1x n-1 + a1x + a0 > 0 (< 0), n > 2.
С помощью методов решения алгебраических уравнений многочлен степени n > 2 разложить на множители, т.е. неравенство записать в виде
an (x – x1) (x – x2) × … × (x – xn) > 0 (< 0).
При этом следует сокращать на заведомо положительные выражения или отрицательные (в последнем случае знак неравенства менять на противоположный). Затем методом интервалов найти решение.
Задача. Решить неравенство x4 – 6x3 + 11x2 – 6x < 0.
Решение. x4 – 6x3 + 11x2 – 6x < 0 Û х (x3 – 6x2 + 11x – 6) < 0 Û
Û х (x3 – x2 – 5x2 + 5x + 6x – 6) < 0 Û х (x – 1) (x2 – 5x + 6) < 0 Û
Û х (x – 1) (x – 2) (x – 3) < 0.
Используем метод интервалов:
 |
По рисунку запишем решение данного неравенства х Î (0; 1) È (2; 3).
4. Дробно-рациональные неравенства. При решении таких неравенств можно придерживаться следующей схемы: перенести все члены неравенства в левую часть; все члены неравенства в левой части привести к общему знаменателю, т.е. неравенство записать в виде 
; решить полученное уравнение методом интервалов.
Задача. Решить неравенство 
.
Решение. 
Û 
Û
Û 
Û 
Û
Û
.
Используем метод интервалов:
 |
По рисунку запишем решение неравенства: х Î (1; 3) È (3; 5).
5. Неравенства с модулем. При решении неравенств с неизвестными под знаком модуля пользуются определением модуля, его свойствами, методом промежутков.
Задача. Решить неравенство |x – 3| + |x + 2| – x > 5.
Решение. На числовой оси отметим значения, при которых х – 3 = 0 и х + 2 = 0.
 |
Рассмотрим неравенство на каждом из полученных промежутков.
а) Если х < 2, то неравенство принимает вид –x + 3 – x – 2 – x > 5, т.е. –3x > 4, 
.
Из соотношений х < –2 и 
следует, что х < –2 является решением данного неравенства.
б) Если –2 £ х < 3, то неравенство примет вид –x + 3 + x + 2 – x >5,
т.е. –x > 0, х < 0.
Из соотношений –2 £ х < 3 и х < 0 следует, что –2 £ х < 3 является решением данного неравенства.
в) Если х ³ 3, то x – 3 + x + 2 – x > 5, т.е. x > 6, является решением данного неравенства.
Объединим найденные решения данного неравенства на различных промежутках и получим окончательное решение (–¥; 0) È (6; ¥).
Задача. Решить неравенство |x + 2| ³ |x|.
Решение. Так как обе части неравенства неотрицательны при любых х Î R, то можно выстроить «цепочку» равносильных неравенств:
|x + 2| ³ |x| Û (x + 2)2 ³ x2 Û x2 + 4x + 4 ³ 0 Û 4x + 4 ³ 0 Û 4x ³ –4 Þ Þ х ³ –1.
Полученное решение и будет решением данного неравенства.
Упражнения для самостоятельной работы
1. Решите неравенства:
а) 
; в) 
;
б) 
; г) 
.
2. Решите неравенства:
а) 1 + x – 2x2 < 0; в) 3x2 – 7x + 5 £ 0;
б) 3x2 – 12x + 12 £ 0; г) 2x2 – 12x + 18 > 0.
3. Решите неравенства:
а) (5x – 1)(2 – 3x)(x + 3) > 0; в) (x – 3)(x – 1)2(3x – 6 – х2) < 0;
б) x3 + 5x2 + 3x – 9 £ 0; г) (x2 – х)2 + 3(х2 – х) + 2 ³ 0.
4. Решите неравенства:
а) 
; в) 
;
б) 
; г) 
.
5. Решите неравенства:
а) |x + 1| + |x – 1| < 4; в) |x + 3| < |x – 1|;
б) |x| + |x – 1| > 1; г) |x2 – 14| > |x2 – 4|.
Все права защищены.