Решение математических задач

Решить математическую задачу – это значит найти такую последовательность общих положений математики, применяя которые к условиям задачи получаем   то, что требуется найти – ответ.

Основными методами решения текстовых задач являются арифметический и алгебраический метод, а так же комбинированный.

Решить задачу арифметическим методом –  значит найти ответ на требование задачи посредством выполнения арифметических действий над данными в задаче числами. Одну и туже задачу можно решить различными арифметическими способами. Они отличаются друг от друга логикой рассуждений  в процессе решения задачи.

Решить задачу алгебраическим методом – значит найти ответ на требование задачи  путем составления  и решения уравнения или системы уравнений.

Текстовые задачи алгебраическим методом решают по следующей схеме:

1) выделяют величины, о которых идет речь в тексте задачи, и устанавливают зависимость между ними;

2)     вводят переменные (обозначают буквами неизвестные величины);

3)     с помощью введенных переменных и данных задачи составляют уравнение или систему уравнений;

4)     решают полученное уравнение или систему;

5)     проверяют найденные значения по условию задачи и записывают ответ.

Комбинированный метод решения включает как арифметический, так и алгебраический способы решения.

В начальной школе задачи делят по количеству действий при решении на простые и составные. Задачи, в которых для ответа на вопрос нужно выполнить только одно действие, называют простыми. Если для ответа на вопрос задачи нужно выполнить два и более действий, то такие задачи называют составными.

Составную задачу, тек же как и простую, можно решить, используя различные способы.

Задача. Рыбак поймал 10 рыб. Из них 3 леща, 4 окуня, остальные – щуки. Сколько щук поймал рыбак?

Практический способ.

Обозначим каждую рыбу кругом. Нарисуем 10 кругов и обозначим пойманных рыб.

                 Л         Л         Л          О          О         О          О

Для ответа на вопрос задачи можно не выполнять арифметические действия, так как количество пойманных щук соответствует не обозначенным кругам – их три.

Арифметический способ.

1)  3+4=7(р) – пойманные рыбы;

2)  10 – 7 = 3(р) – пойманные щуки.

Алгебраический способ.

Пусть х – пойманные щуки. Тогда количество всех рыб можно записать выражением: 3 + 4 + х. По условию задачи известно, что рыбак поймал всего 10 рыб. Значит: 3 + 4 + х = 10. Решив это уравнение, получим х = 3 и тем самым ответим на вопрос задачи.

Графический способ.

   лещи                  окуни                  щуки     

                                             

Этот способ, так же как и практический, позволят ответить на вопрос задачи, не выполняя арифметических действий.

В математике общепринято следующее деление процесса решения задач:

1)  анализ текста задачи, схематическая запись задачи, исследование задачи;

2)  поиск способа решения задачи и составление плана решения;

3)  осуществление найденного плана;

4)  анализ найденного решения задачи, проверка.

Методы поиска решения задачи можно назвать следующие:

1)     Анализ: а) когда в рассуждениях двигаются от искомых к данным задачи;  б) когда целое расчленяют на части;

2)     Синтез: а) когда двигаются от данных задачи к искомым;
б) когда элементы объединяют в целое;

3)     Переформулировка задачи (четко формулировать промежуточные задания, возникающие по ходу поиска решения);

4)     Индуктивный метод решения задачи: на основе точного чертежа  усмотреть  свойства фигуры, сделать выводы и доказать их;

5)     Применение аналогии (вспомнить аналогичную задачу);

6)      Прогнозирование – предвидение тех результатов, к которым может привести поиск.

Рассмотрим более подробно процесс решения задачи:

Задача на движение. Лодка прошла по течению реки расстояние между двумя пристанями за 6 ч, а обратно – за 8ч. За сколько времени пройдет  расстояние между пристанями плот, пущенный по течению реки?

Анализ задачи. В задаче речь идет о двух объектах: лодка и плот. Лодка имеет собственную скорость, а плот и река,  по которой плывут лодка и плот, имеет определенную скорость течения. Именно поэтому лодка совершает путь   по течению реки за меньшее время (6ч), чем против течения (8ч). Но эти скорости в задаче не даны, так же как неизвестно и расстояние между пристанями. Однако требуется найти не эти неизвестные, а время, за которое плот проплывет  это расстояние.

Схематическая запись:

   Лодка                 6 ч                                                                                        

А                                                                                            В

   плот                                                                    лодка

                                                      8

Поиск способа решения задачи. Нужно найти время, за которое плот проплывет расстояние между пристанями А и В. Для того, чтобы найти это время, надо знать расстояние АВ и скорость течения реки. Оба они неизвестны, поэтому обозначим расстояние АВ буквой S (км),а скорость течения  а км/ч.Чтобы связать эти неизвестные с данными задачи, нужно знать собственную скорость лодки. Она тоже неизвестна, положим, она равна V км/ч. Отсюда   возникает  план решения, заключающийся в том, чтобы составить систему уравнений относительно введенных неизвестных.

Осуществление решения задачи. Пусть расстояние равно S (км), скорость течения реки  а км/ч, собственная скорость лодки  V км/ч, а искомое время движения плота равно х ч.

Тогда скорость лодки по течению реки равна  (V+а) км/ч. За 6ч лодка, идя с этой скоростью, прошла расстояние в S (км). Следовательно, 6(V + а) = S  (1). Против течения эта лодка идет со скоростью (V – а) км/ч  и данный путь она проходит за 8 ч, поэтому 8(V – а) = S (2). Плот, плывя со скоростью течения реки а км/ч, проплыл расстояние S (км) за х ч, следовательно, ах = S  (3).

Полученные уравнения образуют систему уравнений относительно неизвестных а, х, S, V. Так как требуется найти  лишь х, то остальные неизвестные постараемся исключить.

Для этого из уравнений (1) и (2) найдем: V + а = ,  V – а = . Вычитая из первого уравнения второе, получим: 2а =  – . Отсюда         а = . Подставим найденное выражение в уравнение (3):  х = .  Откуда х=48 .

Проверка решения. Мы нашли, что плот проплывет расстояние между пристанями за 48 ч.  Следовательно, его скорость, равная скорости течения реки, равна . Скорость же лодки по течению реки равна  км/ч, а против течения км/ч.  Для того, чтобы убедиться в правильности решения, достаточно проверить, будут ли равны собственные скорости лодки, найденные двумя способами: +   и  
 –  . Произведя вычисления, получим верное равенство:  = . Значит, задача решена правильно.

Ответ: плот проплывет расстояние между пристанями за 48 часов.

Анализ решения. Мы свели решение этой задачи к решению системы трех уравнений с четырьмя неизвестными. Однако найти надо было одно неизвестное. Поэтому возникает мысль, что данное решение не самое удачное, хотя и простое. Можно предложить другое решение.

Зная, что лодка проплыла расстояние АВ по течению реки за 6ч, а против – за 8ч, найдем, что в 1ч лодка, идя по течению реки проходит  часть этого расстояния, а против течения  . Тогда разность между ними   –  = есть удвоенная часть расстояния АВ, проплываемая плотом  за 1ч. Значит. Плот за 1ч проплывет  часть расстояния АВ, следовательно, все расстояние АВ он проплывет за 48 ч.

При таком решении нам не понадобилось составлять систему уравнений.  Однако это решение сложнее приведенного выше (не всякий догадается найти разность скоростей лодки по течению и против течения реки).

Упражнения для самостоятельной работы

1. Турист, проплыв по течению реки на плоту 12 км, обратно возвратился на лодке, скорость которой в стоячей воде равна 5 км/ч, затратив на все путешествие 10 ч. Найдите скорость течения реки.

2. Одна мастерская должна сшить 810 костюмов, другая за этот же срок – 900 костюмов. Первая закончила выполнение заказов за 3 дня, а вторая за 6 дней до срока. Сколько костюмов в день шила каждая мастерская, если вторая шила в день на 4 костюма больше первой?

3. Два поезда выехали навстречу друг другу с двух станций, расстояние между которыми равно 400 км. Через 4 часа расстояние между ними сократилось до 40 км. Если бы один из поездов вышел на 1 час раньше другого, то их встреча произошла бы на середине пути. Определите скорости поездов.

4. На одном складе 500 т угля, а на другом – 600 т. Первый склад ежедневно отпускает 9 т, а второй – 11 т угля. Через сколько дней угля на складах станет поровну?

5. Вкладчик взял из сбербанка 25 % своих денег, а потом 64 000рублей. После чего осталось на счету 35 % всех денег. Какой был вклад?

6. Произведение двузначного числа и его суммы цифр равно 144. Найдите это число, если в нем вторая цифра больше первой на 2.

7. Решите следующие задачи арифметическим методом:

а) На путь по течению реки моторная лодка затратила 6 ч, а на обратный путь – 10 ч. Скорость лодки в стоячей воде 16 км/ч. Какова скорость течения реки?

в) Длина прямоугольного поля 1536 м, а ширина 625 м. Один тракторист может вспахать это поле за 16 дней, а другой за 12 дней. Какую площадь вспашут оба тракториста, работая в течении 5 дней?