Основные методы решения алгебраических уравнений

Под алгебраическим уравнением принято понимать уравнение, которое может быть записано в виде an xn + an-1 xn-1 + … + a1 x + a0 = 0, где an, an-1 , … , a0 – заданные числа, х – неизвестное. n – наибольшую степень неизвестного – называют степенью алгебраического уравнения.

1. Линейные уравнения ax = b решаются следующим образом:

если а ¹ 0 и b Î R, то ;

если а = 0 и b = 0, то х Î R;

если а = 0 и b ¹ 0, то х Î Æ.

2. Квадратные уравнения a x2 + b x + c = 0, а ¹ 0 решаются по готовой формуле  или используется теорема Виета: , .

3. Дробно-рациональные уравнения решаются по следующей схеме:

а) перенести все члены уравнения в левую часть;

б) все члены уравнения в левой части привести к общему знаменателю, т.е. уравнение записать в виде ;

в) решить уравнение f1(x) = 0 при f2(x) ¹ 0.

Задача. Решить уравнение .

Решение. Перенесем все члены уравнения в левую часть, получим: . Приведем все члены уравнения к общему знаменателю, получим: . Приведем подобные слагаемые в числителе, получим: . Решаем уравнение
–х2 + х + 2 = 0 при условии х(х + 2) ¹ 0. Получим: х1 = –1, х2 = 2;
х ¹ 0. х ¹ 2.

Ответ: –1; 2.

4. Метод группировки. Путем группировки слагаемых, применяя формулы сокращенного умножения, привести (если удастся) уравнение к виду, когда слева записано произведение нескольких множителей, а справа – нуль. Затем приравниваем к нулю каждый из множителей.

Задача. Решить уравнение х3 –3х +2 = 0.

Решение. Запишем уравнение, учитывая , что –3х = – х – 2х:

х3 – х – 2х +2 = 0.

Группируем:  х (х2 – 1) – 2 (х – 1) = 0(х – 1) (х (х + 1) – 2) = 0 х – 1 = 0 или х2 + х – 2 = 0. Получаем, что  х1 = 0,  х2 = –2, х3 = 1.

Ответ: 0: 1; –2.

5. Метод подстановки. Ищем в уравнении некоторое повторяющееся выражение, которое обозначим новой переменной, тем самым упрощая вид уравнения. В некоторых случаях очевидно что удобно обозначить.

Задача. Решить уравнение .

Решение. С помощью подстановки  получаем . Далее решаем его как дробно-рациональное уравнение: ; t2 + 4t + 3 = 0 и t ¹ 0; t1 = –3, t2 = –1.

Тогда  и .

Решаем получившиеся уравнения:

х2 + 4х – 5 = 0 х1 = –5, х2 = 1; х ¹ 0

х2 + 2х – 5 = 0 х3 = , х4 = 1; х ¹ 0

Ответ: –5; 1; .

В более сложных случаях подстановка видна лишь после преобразований.

Задача. Решить уравнение (х2 + 2х)2 – (х + 1)2 = 55.

Решение. Переписав уравнение иначе, а именно

(х2 + 2х)2 – (х + 2х + 1) = 55, сразу увидим подстановку х + 2х = t. Имеем t2 –  t – 56 = 0, t1 = –7, t2 = 8. Осталось решить х2 + 2х = –7 и х2 + 2х = 8. В результате получаем, что первое уравнение не имеет корней, а у второго х1 = –4, х2 = 2.

6. Метод подбора: при решении уравнений высших степеней рациональные корни уравнения а4х4 + а4-1х4-1 + … + а1х + а0 = 0 ищем в виде , где р – делитель а0, q – делитель аn, p и q взаимно просты, p Î Z, q Î N.

Задача. Решить уравнение х3 – х2 – 8х + 6 = 0.

Решение.  Здесь аn = 1, а0 = 6. Поэтому, если данное уравнение имеет рациональные корни, то их следует искать среди делителей числа 6: ±1, ±2, ±3, ±6. Проверкой убеждаемся, что х = 3, т.к. 27 – 9 – 24 + 6 = 0. Делим   х3 – х2 – 8х + 6 на х – 3, получаем х2 + 2х – 2. Тогда данное уравнение можно представить в виде (х – 3)(х2 + 2х – 2) = 0. Отсюда находим, что х1 = 3 – решение, найденное подбором,
х2,3 =  – из уравнения х2 + 2х – 2 = 0.

Ответ: 3; .

7. Уравнения, содержащие модуль. При решении уравнений с модулем используется определение модуля и метод интервалов.

Задача. Решить уравнение |1 – 2x| + |3x + 2| + |x| = 5.

Решение. Приравниваем к нулю выражения, стоящие под знаком модуля, отмечаем на числовой оси полученные значения, исследуем уравнение в каждом из полученных интервалов:

 

 

 

а) если х Î , то 1 – 2х > 0, 3х + 2 < 0, х < 0 и уравнение переписывается так: 1 – 2х – 3х – 2 – х = 5, т.е. –6х = 6,
х = –1 Î .

б) если х Î , то 1 – 2х > 0, 3х + 2 ³ 0, х < 0 и поэтому имеем 1 – 2х + 3х + 2 – х = 5, и т.к. 3 ¹ 5, то в промежутке  корней нет;

в) если х Î , то получаем 1 – 2х + 3х + 2 + х = 5, т.е. 2х = 2,
х = 1 Ï;

г) если х Î , то –1 + 2х + 3х + 2 + х = 5,  6х = 4,
х =  Î.

Ответ: –1; .

Задача. Решить уравнение  |x2 – 14| = |x2 – 4|.

Решение. Так как |x2 – 14| ³ 0 и |x2 – 4| ³ 0, то, возведя обе части уравнения в квадрат, получим равносильное уравнение (x2 – 14)2 = = (x2 – 4)2, т.е. x4 – 28x2 + 196 = x4 – 8x2 + 16, т.е. 20x2 = 180, x2 = 9, х1,2 = ±3.

Упражнения для самостоятельной работы

1. Решите уравнения:

а) 9х2 – 6х + 1 = 0;                   г) ;

б) х (х + 2) = 2х + 1;                 д) .

2. Решите уравнения методом группировки:

а) х3 – 8 + х – 2 = 0;                           в) 2х4 + х3 + 4х2 + х + 2 = 0;   

б) х3 + х + 2 = 0;                       г) х4 – 5х3 + 20х2 – 16 = 0.

3. Решите уравнения методом подстановки:

а) ;           в) х4 – 6х2 + 8 = 0;

б) ;     г) .

4. Решите уравнения методом подбора:

а) х3 – 3х + 2 = 0;                               в) 4х3 + 6х2 –2 х – 2 = 0;        

б) х4 – х3 + 35х2  + 57х + 90 = 0;                  г) 2х3 + 6х2 – 9 = 0.

5. Решите уравнения:

а) |5х + 2| = 3 – 3х;         б) |х| + |х – 1|= 1;                   

в) |х – 2| = |2х + 1|;          г) х2 + |х| – 2 = 0.