Необходимые и достаточные условия

Понятие отношения следования между предложениями позволяет уточнить смысл слов «необходимо» и «достаточно», которые часто употребляются в математике.

Если из предложения А следует предложение В, то говорят, что В – необходимое условие для А, а А – достаточное условие для В.

Другими словами, предикат В(х) логически следует из предиката А(х), т.е.  А(х)В(х), то А(х) называют достаточным условием для В(х), а В(х) – необходимым условием для А(х).

 

                            условие необходимости:  АВ

                            условие достаточности:  ВА

Если же предложения А и В равносильны, то говорят, что А – необходимое условие для В, и наоборот.

Другими словами, если из предиката А(х) логически следует предикат В(х), а из предиката В(х) логически следует предикат А(х), т.е. А(х)В(х), то А(х) – необходимое и достаточное условие для В(х), а В(х) – необходимое и достаточное условие для А(х).

 

                      условие необходимости и достаточности:

                                                   АВ

В начальном курсе математики слова «необходимо» и «достаточно», как правило, не употребляются, но зато широко используются их синонимы – «нужно» и «можно».

Приведем пример. В первой коробке 6 карандашей, во второй – на 2 меньше. Сколько карандашей в двух коробках?

Один из возможных путей поиска решения задачи может быть таким. Учитель спрашивает: можно ли сразу узнать, сколько карандашей (т.е. достаточно ли данных в задаче, чтобы сразу ответить на ее вопрос)?

Учащийся отвечает: нельзя, так как нужно знать, сколько карандашей во второй коробке (т.е. необходимо знать).

Учитель далее спрашивает: можно ли узнать количество карандашей во второй коробке? (т.е. достаточно ли данных в задаче, чтобы сразу ответить на этот вопрос)?

Ученик отвечает: можно.

Учитель спрашивает: что для этого нужно сделать? И т.д.

Правильное употребление слов «нужно» и «можно» – залог успеха в использовании слов «необходимо» и «достаточно» при дальнейшем изучении математики.

Рассмотрим следующие примеры.

1. Вместо многоточия вставим термины «необходимо», «достаточно» или «необходимо и достаточно»: «Для того чтобы число х являлось делителем числа 15, …, чтобы число х являлось делителем  числа 5».

Решение: Введем обозначения: С(х) – «число х делитель числа 5», В(х) – «число х – делитель числа 15».

Для ответа на вопрос задачи нужно выяснить, каким условием является предикат С(х) для предиката В(х).

Для проверки достаточности предиката С(х) выясним, находятся ли С(х) и В(х) в отношении следования. Так как Т = {1, 5}, а Т = {1, 3, 5, 15}, то Т Т  и, следовательно, С(х)В(х). Истинность последнего высказывания означает, что С(х) является достаточным условием для В(х).

Проверим, является ли С(х) необходимым условием для В(х), выяснив, истинно ли высказывание  В(х)С(х).

Так как найдется такое значение х (например, х = 3), при котором В(х) истинно, а С(х) ложно, то высказывание В(х)С(х) ложно и, следовательно, С(х) не является необходимым условием для В(х).

Таким образом, вместо многоточия можно вставить термин «достаточно»: «Для того чтобы число х являлось делителем числа 15, достаточно, чтобы х являлось делителем числа 5».

2. Дано предложение: «Для того чтобы четырехугольник был ромбом, необходимо, чтобы его диагонали были взаимно перпендикулярны». Выясним, нельзя ли сформулировать это предложение по-другому.

Поскольку предложение «Диагонали ромба взаимно перпендикулярны» вытекает из предложения «Четырехугольник – ромб», то предложение «Для того чтобы четырехугольник был ромбом, необходимо, чтобы его диагонали были взаимно перпендикулярны» можно сформулировать еще так:

1)    Из того, что четырехугольник – ромб, следует, что его диагонали взаимно перпендикулярны.

2)    Во всяком ромбе диагонали взаимно перпендикулярны.

3)    Если четырехугольник – ромб, то его диагонали взаимно перпендикулярны.

4)    Чтобы диагонали четырехугольника были взаимно перпендикулярны, достаточно, чтобы он был ромбом.

3. Вставить слова «необходимо», «достаточно», «необходимо и достаточно»  в предложение «Для того чтобы натуральное число делилось на 6, …, чтобы оно делилось на 2».

Решение: Пусть предложение А – «число делится на 6», В – «Число делится на 2». Тогда, для того чтобы выполнялось условие необходимости, из предложения А должно логически следовать предложение В, а чтобы выполнялось условие достаточности – предложение А должно логически следовать из В.

Действительно, любое число, которое делится на 6, делится на 2. Значит, выполняется условие необходимости. И не верно, что любое число, делящееся на 2, делится на 6 (например, 14 делится на 2, но не делится на 6).

Значит, условие достаточности не выполняется, а вместо многоточия нужно вставить термин «необходимо»: «Для того чтобы натуральное число делилось на 6, необходимо, чтобы оно делилось на 2».