Отношения между множествами

В математике изучают не только те или иные множества, но и отношения, взаимосвязи между ними.

Если множества А и В имеют общие элементы, т.е. элементы, принадлежащие множествам А и В одновременно, то говорят, что эти множества пересекаются. Например, пусть множество А = {a, b, c, d, e} и
B = {b, c, d, k, l}. Элементы b, d принадлежат и множеству А, и множеству В. Значит, множества А и В имеют общие элементы, а сами множества пересекаются: АВ. Если множества не имеют общих элементов, например,
А = {1, 2, 3} и B = {4, 5},то они не пересекаются: А В.

Иногда приходится рассматривать не все множество, а только его часть. Например, не все множество натуральных чисел, а только множество простых чисел. Тогда речь идет о подмножестве. Если любой элемент множества А  принадлежит так же и множеству В, то А называют подмножеством  В. Записывают АВ. Знак   называют знаком включения.

Пусть даны множества: А = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, В = {1, 2, 3}. Элементы    1, 2, 3 принадлежит множеству А: 1А. 2А, 3А. Но из этих же элементов состоит и все множество В. Значит множество В есть подмножество множества А:  В А.

Любое множество является подмножеством самого себя, т.е. АА. Пустое множество является подмножеством любого множества: ¾А.  Все множества являются подмножествами одного и того же множества, называемого универсальным  U.

Приведем пример. Найдем все подмножества множества Х = {a,b,c}. Выпишем одноэлементные подмножества: {a}, {b}, {c}, затем двухэлементные: {a, b}, {a, c}, {b, c}, трехэлементные: {a, b, c} и множество, не содержащее ни одного элемента -.

Количество подмножеств множества, состоящего из n элементов равно . В нашем примере множество состоит из трех элементов, значит количество подмножеств равно  =8.

Если множества состоят из одинаковых элементов и их количество равно, и каждый элемент множества  А  является элементом множества  В и наоборот, то  АВ и ВА  и говорят, что множества А и В равны: А=В. Например, А={a, d, c, d},  B={c, b, d, а}, значит  А=В. Для равных множеств порядок их элементов не является существенным.

Таким образом, между множествами возникают следующие отношения: множества могут пересекаться, не пересекаться, быть равными и включаться одно в другое.

Для наглядности употребляют изображения множеств на плоскости, которые называют диаграммами Эйлера-Венна (множества наглядно представляют в виде кругов, овалов), где штриховкой обозначают нужные области. Тогда вышеперечисленные отношения можно изобразить следующим образом.

Нередко бывает так, что рассматривают только подмножества одного и того же множества I. Такое множество I называют универсальным множеством. Так, если А – множество студентов первого курса, В – множество студенток в этом же институте, С – множество спортсменов этого же института, то в качестве универсального множества I можно взять множество студентов данного института, потому, что тогда АI, BI, CI. На диаграммах Эйлера-Венна универсальное множество часто изображается в виде прямоугольника, а его подмножества – кругами.

Различные числовые множества можно изображать на числовой прямой. Пусть а и b различные числа такие, что а<b. Тогда их запись и изображение таково:

Например, изобразим решение неравенства 3<x<7.

 В данном случае, это будут все действительные числа, расположенные между 3 и 7. Это можно записать так: (3; 7).              

Найдем пересечение и объединение множеств : а) (-;7]  и   [1;+); b) (-;7]  и  [9; +).

Изобразим множества на числовой прямой. Там, где будет наложение двух штриховок – пересечение множеств, где есть хотя бы одна штриховка – объединение данных множеств.

Рассмотрим такую задачу: выясним, как связаны между собой множество   А – четных  чисел и множество  В – чисел, кратных  4.

1.     Не все четные числа делятся на 4, например, 14. Значит равенство А=В невозможно.

2.     Множества А и В пересекаются, так как содержат общие элементы – четные числа, кратные 4, например 12.

3.     Всякое число, кратное 4, является четным. Поэтому, множество В является подмножеством множества А: ВА.

Данное решение можно изобразить при помощи диаграмм Эйлера-Венна.

Понятие множества является обобщением понятия части и целого, которые осваивают младшие школьники, выполняя разные задания. Например, «назови среди данных чисел четные», «среди данных четырехугольников найди квадраты».