Свойства операций над множествами

Из школьного курса математики нам известно, что такие операции над числами, как сложение и умножение обладают переместительным и сочетательным свойствами. Между собой эти операции связаны распределительным свойством.

Аналогичная ситуация и в случае, когда выполняются операции над множествами. Так, операцию пересечения двух множеств отождествляют с произведением чисел, а объединение этих множеств – с суммой чисел. Операции над множествами обладают и рядом свойств, аналогичных свойствам сложения и умножения чисел.

1) переместительные законы пересечения и объединения (коммутативность):

       АВ = ВА                                            АВ = ВА

2)    сочетательные законы пересечения и объединения (ассоциативность):                                     

      (АВ)С = А(ВС)                           (АВ)С = А(ВС)

3)   А А = А                                                 А А = А

4)   А  =                                                А     = А

5)  А   U = A                                              A U = U                

6)распределительные законы (дистрибутивность):

     (АВ)С = (АС) (ВС)                 (АВ)С = (АС)(ВС)

7) законы включения:

           А(ВС)(АВ)(АС)                  (АВ) (АС)А(ВС)

Вычитание и дополнение также обладает рядом свойств.

8)  А' А =                                                 А'А = U 

9)  (АВ)' = А'В'                                        (АВ)' = А'В'

10) '= U                                                       U ' =              

11) (A B) C = A (BC)                             (A B) C = (A С) В

12) (AB)B = AB                                    (AB)  С = (AB)(В С)

13)  А(ВС) = (АВ)  (АС)                    А(ВС) = (АВ) (АС)

                             

Если вы хотите успешно сдать ЕГЭ, то должны обязательно выучить все эти свойства.

Данные свойства можно проиллюстрировать на кругах Эйлера в соответствии с порядком действия, например, рассмотрим ассоциативность пересечения, так как оно не столь очевидно, как свойство коммутативности. Изобразим множества А, В, С в виде трех попарно пересекающихся кругов и изобразим множество (АВ)С на рис. 11, а множество А(ВС) на рис. 12.                           

Однако рассмотрим более строгие доказательства некоторых законов.

Например, докажем ассоциативность операции объединения (АВ)С = А(ВС).

Чтобы доказать равенство двух множеств, надо убедиться, что каждый элемент множества (АВ)С содержится в множестве А(ВС), и наоборот.

1. Пусть х – любой элемент множества (АВ)С. Тогда, по определению объединения, х АВ или хС.

Если х АВ, то по определению объединения хА или  хВ.

В том случае, если хА, то так же по определению объединения х(АВ)С.

Если хВ, то имеем, что хВС, а значит, х(АВ)С.

Случай, когда хА и хВ, сводится к рассмотренным. Таким образом, из того, что х АВ, следует, что х(АВ)С.

Если  хС, то по определению объединения, хВС, и, следовательно, х(АВ)С.

Случай, когда х АВ и хС, сводится к рассмотренным выше.

Итак, мы показали, что каждый элемент множества (АВ)С содержится в множестве А(ВС), т.е. (АВ)СА(ВС).

Пусть у – любой элемент из множества  А(ВС). Тогда по определению объединения, уА,  уВС.

Если уА, то по определению объединения,  уАВ, и, следовательно,  у А(ВС).

Если уВС, то уВ или  уС. В том случае, когда уВ, то уАВ и, значит,  у(АВ)С. Когда же уС, то у(АВ)С. Случай, когда уВ и  уС, сводится к уже рассмотренным.

Итак, мы показали, что каждый элемент множества А(ВС) содержится в множестве (АВ)С, т.е. А(ВС)  (АВ)С.

Согласно определению равных множеств заключаем, что (АВ)С = А(ВС).

Аналогично доказывается ассоциативность пересечения множеств и другие свойства операций над множествами.

Используя свойства операций над множествами, можно доказывать и другие равенства. Докажем, что для любых множеств  А  и  В верно равенство  (А'В)' = А В'.

Решение: Известно, что (АВ)' = А 'В'. Применим эту формулу к выражению (А'В)'. Получим (А'В)'=(А')'В'. Но поскольку  (А')'=А, то имеем: (А')'В'= А В'.  Таким  образом, (А'В)' = А В'.