Отображения

Рассмотрим еще один важный частный случай общего понятия соответствия – отображения множеств. При соответствии R между множествами Х и Y образ элемента аХ может оказаться пустым, а может содержать  и несколько элементов.

Отношение между элементами множеств Х и Y называется отображением Х в Y, если каждому элементу х из множества Х соответствует только один элемент множества Y. Этот элемент называют образом элемента х при данном отображении:  f(x). На графе такого отображения из каждой точки множества Х будет выходить только одна стрелка (рис. 29).

Рассмотрим следующий пример. Пусть Х – множество студентов в аудитории, а Y – множество стульев в той же аудитории. Соответствие «студент х сидит на стуле у» задает отображение Х в Y. Образом студента х является стул.

Пусть Х = Y = N – множество натуральных чисел. Соответствие «десятичная запись числа х состоит из у цифр» определяет отображение N в N. При этом отображении числу 39 соответствует число 2, а числу 45981 – число 5( 39 – двузначное число, 45981 – пятизначное).

Пусть Х – множество четырехугольников, Y – множество окружностей. Соответствие «четырехугольник х вписан в окружность у» не является отображением Х в Y, так как есть четырехугольники, которые нельзя вписать в окружность. Но в этом случае говорят, что получилось отображение из множества Х в множество Y.

Если отображение Х в Y таково, что каждый элемент y из множества
Y соответствует одному или нескольким элементам х из множества Х, то такое отображение называют отображением множества Х на множество Y.

Множество Х называют областью определения отображения  f: XY, а множество Y – областью прибытия этого отображения. Часть области прибытия, состоящая из всех образов y из множества Y, называется множеством значений отображения f.

Если  y=f(x), то х называют прообразом элемента у при отображении f. Множество всех прообразов элемента у называют его полным прообразом:  f (y).     

Отображения бывают следующих видов: инъективными, сюръективными и биективными.

Если полный прообраз каждого элемента yY содержит не более одного элемента (может быть и пустым), то такие отображения называют инъективными.

               Отображения   XY такие, что f(X)=Y, называют отображениями  Х на все множество Y или сюръективными (из каждой точки множества  Х выходит стрелка, а после изменения направления в каждой точке множества Х заканчивается) (рис. 31).

Если отображение инъективно и сюръективно, то его называют взаимно однозначным или биективным.

Отображение множества Х на множество  называется биективным, если каждому элементу хХ соответствует единственный элемент yY, а каждый элемент  yY соответствует только одному элементу хХ (рис. 32).

Биективные отображения порождают равномощные (эквивалентные) множества: X~Y.

Пример. Пусть – Х множество пальто в гардеробе, Y – множество крючков там же. Поставим в соответствие каждому пальто крючок, на котором оно висит. Это соответствие является отображением Х в Y. Оно инъективно, если ни на одном крючке не висит более одного пальто или некоторые крючки свободны. Данное отображение сюръективно, если все крючки заняты или на некоторых висят несколько пальто. Оно будет биективным, если на каждом крючке висит только одно пальто.