Метод контрпозиции

Метод контрпозиции предполагает доказательство теоремы  вместо АВ.

Рассмотрим метод от противного. Пусть требуется доказать АВ. Предположим, что если А – истинно, то имеет место . Далее мы устанавливаем, что из  или , где С – ранее доказанное истинное утверждение. Тогда в первом случае мы доказываем теорему  по закону контрпозиции, а во втором получаем противоречие с тем условием, что С – истинно. Следовательно, сделанное нами допущение неверно.

Пример. Доказать, что если n– нечетное натуральное число, то n также нечетное.

Доказательство. Пусть n – четное число. Тогда n =2k. Значит n= (2k)=4k. Следовательно, nделится на 2 и является четным числом, что противоречит условию. Наше предположение неверно. Значит n– нечетное натуральное число.

Пример. Доказать теорему: «Две прямые, параллельные третьей, параллельны».

Доказательство: Пусть прямые a и b параллельны прямой с. Допустим, что прямые a и b не параллельны (рис. 63). Тогда они пересекаются в некоторой точке С.  Значит, через точку  С проходят две прямые, параллельные прямой с. Но это невозможно, так как через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.

Теорема доказана методом от противного.