Отношение «больше в…» и «меньше в…»

Пусть дано множество А, в котором 6 элементов, и множество В, содержащее 3 элемента:

n(A) = 6,   n(B) = 3: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {a, s, d}.

Выделим в множестве А подмножества, равномощные множеству В: А = {1, 2}, A = {3, 4},         A = {5, 6} (рис.13). Их оказывается три.

В этом случае говорят, что   число 6 больше числа 2 в 3 раза, а число 2 меньше 6 в 3  раза.

Если даны числа a и b такие, что n(A) = a, n(B) = b, a>b, и множество А можно разбить на с подмножеств, равномощных множеству В, то говорят, что число а больше числа b в с раз, а число  b меньше числа а в с раз.

Чтобы узнать, во сколько раз одно число больше или меньше другого, необходимо большее число разделить на меньшее.

Объясним смысл предложения « 10 больше 5 в 2 раза». Если предположить, что в множестве С 10 элементов, а в множестве К 5 элементов, и в множестве С можно выделить подмножества, равномощные К, то таких подмножеств окажется 2.

Значит, 10 больше 5 в 2 раза.

Теоретико-множественный смысл отношения «a больше (меньше) b в с раз» можно использовать при обосновании выбора действий при решении задач.

Рассмотрим, например, такую задачу. На участке растут 8 елей. Их в 2 раза больше, чем сосен. Сколько сосен на участке? Решим задачу и обоснуем выбор действий.

Решение. В задаче идет речь о двух множествах: множестве А елей и С сосен. Известно, что n(A) = 8. Требуется найти n(C), зная, что число елей в 2 раза больше сосен, т.е. число сосен в 2 раза меньше числа 8. Исходя из этого условия, можно представить множество А состоящим из двух равномощных подмножеств: А = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, А = {1, 2, 3, 4}, A = {5, 6, 7, 8}. Тогда в множестве С будет столько элементов, сколько в каждом подмножестве множества А: n(А) = n( A) = 4, а это число можно найти делением 8 : 2 = 4.

Значит n(C) = 4, т.е. на участке росло 4 сосны.

Рассмотрим другую задачу. У Нины 3 тетради, а у Коли в 4 раза больше. Сколько тетрадей у Коли? Обоснуем выбор решения.

Решение. В задаче рассматриваются два множества: множество А тетрадей Нины и множество В тетрадей Коли (рис.14). Известно, что n(A) = 3. Требуется найти n(B), зная, что это число  элементов в множестве В в 4 раза больше числа элементов в множестве А. Это значит, что множество В состоит из четырех непересекающихся подмножеств В, В, В, В, равномощных множеству А, т.е. n(В) = n(В) = n(В) = n(В) = n(A) = 3.

Но тогда число элементов в множестве В можно найти сложением n(B) = n() = n(В) + n(В) + n(В) + n(В) = 3 + 3 + 3 + 3 = 34 = 12.

Значит, у Коли 12 тетрадей.

Используя теоретико-множественное истолкование отношения «меньше в», «больше в» обоснуем, почему следующая задача решается делением. Во дворе гуляли 4 утенка и 8 цыплят. Во сколько раз больше цыплят, чем утят? Решите задачу и дайте обоснование решению.

Решение. В задаче идет речь о двух множествах: множестве А цыплят и множестве В утят. Известно, что n(A) = 4, n(B) = 8, причем известно, что цыплят больше чем утят.

Пусть А = {z, x, c, v}, B = {a, s, d, f, g, h, j, k}.

Выделим в множестве В  подмножества, равномощные множеству А: В = {a, s, d, f},  В = {g, h, j, k},  т.е. n(В) = n(В) = n(A) = 4. Их оказывается 2. По определению отношения больше, если множество В можно разбить, например на 2 подмножества, равномощных множеству А, то n(B) больше n(A) в 2 раза.

Ответ: цыплят было больше, чем утят в 2 раза.