О расширении множества натуральных чисел

Большинство применений математики связано с измерением вели­чин. Однако для этих целей натуральных чисел недостаточно: не всег­да единица величины укладывается целое число раз в измеряемой величине. Чтобы в такой ситуации точно выразить результат измере­ния, необходимо расширить запас чисел, введя числа, отличные от натуральных. К этому выводу люди пришли еще в глубокой древно­сти: измерение длин, площадей, масс и других величин привело снача­ла к возникновению дробных чисел - получили рациональные числа, а в V в до н.э. математиками школы Пифагора было установлено, что существуют отрезки, длину которых при выбранной единице длины нельзя выразить рациональным числом. Позднее, в связи с решением этой проблемы, появились числа ирра­циональные. Рациональные и иррацио­нальные числа назвали действительными. Строгое определение действительного числа и обоснование его свойств было дано в XIX в.

Взаимосвязи между различными множествами чисел (N, Z, Q и R) можно изобразить наглядно при помощи кругов Эйлера (рис 26).

Действительные числа – не последние в ряду различных чисел. Процесс, начавшийся с расширения множества натуральных чисел, продолжается и сегодня ­– этого требует развитие различных наук и самой математики.

Знакомство учащихся с дробными числами происходит, как правило, в начальных классах. Затем понятие дроби уточняется и расширяется в средней школе. В связи с этим учителю необходимо владеть понятием дроби и рационального числа, знать правила выполнения действий над рациональными числами, свойства этих действий. Все это нужно не только для того, чтобы математически грамотно ввести понятие дроби и обучать младших школьников выполнять с ними действия, но и, что не менее важно, видеть взаимосвязи множеств рациональных и действительных чисел с множеством натуральных чисел. Без их понимания нельзя решить проблему преемственности в обучении математике в начальных и последующих классах школы.

Расширение множества N натуральных чисел будет происходить в такой последовательности: сначала строится множество  положительных рациональных чисел, затем показывается, как его можно расширить до множества  положительных действительных чисел, и, наконец, описывается расширение множества  до множества R всех действительных чисел.