Понятие дроби

Пусть требуется измерить длину отрезка x с помощью единичного отрезка e (рис.27). При измерении оказалось, что отрезок x состоит из трех отрезков, равных e, и отрезка, который короче отрезка e. В этом случае длина отрезка x не может быть выражена натуральным числом.

Однако если отрезок e разбить на 4 равные части, то отрезок x окажется состоящим из 14 отрезков, равных четвертой части отрезка e. И тогда, говоря о длине отрезка x, мы должны указать два числа 4 и 14: четвертая часть отрезка e укладывается в отрезке точно 14 раз. Поэтому условились длину отрезка x записывать в виде , где E – длина единичного отрезка e, а символ  называть дробью.

В общем виде понятие дроби определяют так.

Пусть даны отрезок x и единичный отрезок e, длина которого E. Если отрезок x
состоит из m отрезков, равных n-ой части отрезка e, то длина отрезка x может быть представлена в виде , где символ  называют дробью (и читают “эм энных”).

В записи дроби  числа m и n – натуральные, m называется числителем, n – знаменателем дроби.

Дробь  называется правильной, если ее числитель меньше знаменателя, и неправильной, если ее числитель больше знаменателя или равен ему.

Ранее показано, что четвертая часть отрезка e уложилась в отрезке x точно 14 раз. Очевидно, это не единственный вариант выбора такой части отрезка e, которая укладывается в отрезок x целое число раз. Можно взять восьмую часть отрезка e, тогда отрезок x будет состоять из 28 таких частей и его длина будет выражаться дробью . Можно взять шестнадцатую часть отрезка
e, тогда отрезок x будет состоять из 56 таких частей и его длина будет выражаться дробью .

Вообще длина одного и того же отрезка x при заданном единичном отрезке e может выражаться различными дробями, причем, если длина выражена дробью , то она может быть выражена и любой дробью вида , где k
– натуральное число.

Теорема. Для того чтобы дроби  и  выражали длину одного и того же отрезка, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство .

Доказательство этой теоремы мы опускаем.

Две дроби  и  называются равными, если .

Если дроби равны, то пишут .

Например, , так как , а , потому что , а и .

Из сформулированных выше теоремы и определения следует, что две дроби равны тогда и только тогда, когда они выражают длину одного и того же отрезка.

Нам известно, что отношение равенства дробей рефлексивно, симметрично и транзитивно, т.е. является отношением эквивалентности.

Из определения равных дробей вытекает основное свойство дроби. Напомним его.

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, то получится дробь, равная данной.

На этом свойстве основано сокращение дробей и приведение дробей к общему знаменателю.

Сокращение дробей – это замена данной дроби другой, равной данной, но с меньшим числителем и знаменателем.

Если числитель и знаменатель дроби одновременно делятся только на единицу, то дробь называют несократимой. Например,  – несократимая дробь, так как её числитель и знаменатель делятся одновременно только на единицу, т.е D(5, 17) = 1.

Приведение дробей к общему знаменателю – это замена данных дробей равными им дробями, имеющими одинаковые знаменатели. Общим знаменателем двух дробей  и  является общее кратное чисел  и , а наименьшим общим знаменателем – их наименьшее кратное K(n, q).

 Приведем к наименьшему общему знаменателю дроби  и .

Решение. Разложим числа 15 и 35 на простые множители: , . Тогда . Поскольку , то , .