Натуральное число как значение длины отрезка. Смысл суммы и разности

Считают, что отрезок а состоит из отрезков а, а, …, а, если он является их объединением и никакие два из них не имеют общих внутренних точек, хотя и могут иметь общие концы.

Если отрезок а состоит из n отрезков, каждый из которых равен единичному отрезку е, то число n называют численным значением длины данного отрезка а при единице е: а = nе. Например, численным значением длины отрезка а, изображенного на рис. 17, при единице е является число 6:  а= 6е. Если в качестве единицы выбрать другой отрезок,  например е, то длина отрезка а будет состоять из 3 отрезков е:    а = 3 е.

Таким образом, натуральное число как численное значение длины отрезка а показывает, из скольких единичных отрезков е слагается отрезок а. При выбранной единице е это число единственное.

В связи с таким подходом к натуральному числу сделаем два замечания:

1. При переходе к другой единице длины численное значение длины заданно отрезка изменяется, хотя сам отрезок остается неизменным. Так, если в качестве единицы длины выбрать длину отрезка е (рис.16), то мера длины отрезка х будет равна числу 3. Записать это можно так: Х = 3 Е.

2. Если отрезок х состоит из а отрезков, равных е, а отрезок у – из b отрезков, равных е, то а = b тогда и только тогда, когда отрезки х и у равны.

Аналогично можно истолковать смысл натурального числа и в связи с измерением других величин.

Пусть отрезок а состоит из отрезков b и с и b = mе, с = nе, где m и n – натуральные числа. Тогда отрезок b разбивается на m частей, каждая из которых равна единичному отрезку е, а отрезок с – на n таких частей. Весь отрезок а разбивается на m + n таких частей. Тогда сумму натуральных чисел m и n можно рассматривать как значение длины отрезка а, состоящего из отрезков b и с, длины которых выражаются натуральными числами m и n:     а =  b + c = m(b) + n(c) = (m + n)e.

Например, числа 3 и 8 являются результатами измерения длин отрезков b и с при помощи единицы е, т.е. b = 3e, c = 8e, и отрезок а состоит из отрезков b и с. Тогда а = b + с = 3е + 8е = (3 + 8)е = 11е.

Если отрезок а состоит из отрезков b и с, и длины отрезков а и b выражаются натуральными числами m и n при выбранной единице е, то длина отрезка с выражается как разность отрезков а и b и равна разности значений длин этих отрезков m – n. Т.е. разность натуральных чисел m и n можно рассматривать как значение длины отрезка с, являющегося разностью отрезков а и b, длины которых выражены натуральными числами m и n соответственно: с = а – b = m(a) –  n(b) =  (m – n)e.

Например, если отрезок а = 7е и состоит из отрезков b и с, причем        b = 5е, то с = а – b = 7е – 5е = (7 – 5)е = 2е.

Такой подход к сложению и вычитанию натуральных чисел связан не только с измерением длин отрезков, но и с измерением других величин.

Обоснуем выбор действия задачи: « Купили 5 кг картофеля и 2 кг моркови. Сколько килограммов  овощей купили?»

Решение. Изобразим массу картофеля в виде отрезка с, а массу моркови – в виде отрезка b. Тогда массу купленных овощей можно изобразить в виде отрезка, состоящего из отрезков b и с (рис.18). 

Так как численное значение отрезка а равно сумме численных значений отрезков с и b, то массу купленных овощей можно найти действием сложения: а =  с + b  = n(c) + m(b) = (n + m)e = 5кг + 2кг  = 51кг + 21кг =              (5 + 2)1кг = 7 1кг = 7кг.

Ответ: купили 7 кг овощей.

Рассмотрим другую задачу. Сестре 7 лет, а брат на 2 года старше сестры. Сколько лет брату? Решите задачу, обосновав выбор действий.

Решение. Изобразим возраст сестры с помощью отрезка а. Тогда возраст брата можно изобразить при помощи отрезка АВ, равного а, и отрезка ВС, изображающего 2 года (рис.19).

Так как значение длины отрезка с = АС равно сумме значений длин слагаемых отрезков, то возраст брата можно найти сложением:  с = АВ + ВС = 7 лет + 2 года =  71год + 21год = (7 + 2) 1год =  9 лет.

Ответ: брату 9 лет.

Пример. Объясним, почему следующая задача решается при помощи вычитания: «Купили 6 кг фруктов, из них 4 кг яблок и остальные груши. Сколько килограммов груш купили?»

Решение. В задаче рассматривается масса фруктов, известно ее численное значение. Эта масса складывается из массы яблок, численное значение которой известно, и массы груш, численное значение которой нужно найти. Изобразим массу фруктов при помощи отрезка а, который состоит из отрезков b – массы яблок и с – массы груш (рис. 20). Тогда массу груш можно получить, вычитая из всей массы фруктов массу яблок. Численное значение массы груш тогда находят действием вычитания: с = а – b = m(a) –  n(b) =  (m – n)e. Т.о. с = 6 кг – 4 кг = 61 кг - 41 кг = (6 – 4) 1 кг = 2 кг.

Ответ: купили 2 кг груш.

Рассмотрим другой пример. От ленты отрезали 5 м, а потом еще 3 метра. Сколько метров ленты отрезали? Решите задачу и обоснуйте выбор действия.

Решение. Изобразим первый отрезанный кусок в 5 м с помощью отрезка а, а второй кусок в 3 м – при помощи отрезка b (рис. 21). Тогда всю длину отрезанной ленты можно изобразить при помощи отрезка с = а + b. Численное значение такого отрезка будет равно сумме численных значений длин отрезанных кусков: m(с) = m(а) + n(b). Значит, задача решается сложением:      с = 5м + 3 м = 51м + 31м =  (5 + 3) 1м = 8 м.

Ответ: отрезали всего 8 м ленты.