Теоретико-множественный смысл суммы

Сложение целых неотрицательных чисел связано с объединением конечных непересекающихся множеств. Если a = n(A), b = n(B) и AB = , то суммой целых неотрицательных чисел а и b называется число элементов в объединении множеств А и В, т.е. a + b = n(A) + n(B) = n(AB).

Докажем сначала, что если a и b - натуральные числа, то существует взаимно однозначное отображение отрезка натурального ряда N на множество Х таких чисел, что а + 1 х  a + b. Действительно, если поставить в соответствие числу с N число с + а, то в силу монотонности сложения этим будет задано взаимно однозначное отображение отрезка N на множество Х. Например, если а = 3, b = 5, то соответствие между множествами N и Х = {4,5,6,7,8} может быть установлено так: числу с сопоставим х = с + 3, т.е. числу 1 – число 3 + 1 = 4, числу 2 = число 3 + 2 = 5 и т.д.

Пусть a = n(A), b = n(B). Тогда существует взаимно однозначные отображения А на N и В на N. Но, согласно доказанному выше, отрезок N можно взаимно однозначно отобразить на множество Х таких чисел, что а + 1 х  a + b. Тем самым множество В взаимно однозначно отображается на Х. Отображая взаимно однозначно А на N и В на Х, получаем взаимно однозначное отображение множества AB  на отрезок N. Поскольку нет элементов, одновременно принадлежащих А и В, то это отображение определено на всем множестве AB. Значит, в множестве AB имеется a + b элементов, что и требовалось доказать.

Действие, при помощи которого находят сумму, называют сложением, а числа, которые складывают, называют слагаемыми.

Используя определение суммы целых неотрицательных чисел, покажем, что 2 + 4 = 6.

Возьмем множество А, содержащее 2 элемента и множество В, содержащее 4 элемента, такие, что n(A) = 2, n(B) = 4,  AB= . Например, А = {a, b}, B = {k, l, m, h}. Найдем объединение множеств А и В: АВ = {a, b, k, l, m, h}. Полученное множество содержит 6 элементов, т.е. n(АВ)=6. Согласно определению сложения, 2 + 4 = 6.

Выясним теоретико-множественный смысл равенства а + 0 = а. Если a=n(A), 0= n(), то а + 0 = n(A)+ n()=n(A)=n(A)=  а.

Сложение обладает коммутативностью и ассоциативностью (переместительный и сочетательный законы).

Покажем коммутативность. Для любых множеств А и В выполняется равенство АВ = ВА. Т.к. a = n(A), b = n(B) и AB = , то а + b = n(A) + n(B) = n(АВ) = n(ВА) = n(B) + n(A) = a + b.

Аналогично можно показать ассоциативность сложения, которая вытекает из равенства (AB)C = A(BC).

Действительно, a=n(A), b = n(B),c = n(C)  и  AB= ,  BC = ,  AC = , то (a + b) + c = n((AB)C) = n( A(BC)) = a + (b + c).

Взаимосвязь сложения целых неотрицательных чисел и объединения множеств позволяет обосновать выбор действий при решении текстовых задач определенного вида. Например, выясним, почему следующая задача решается при помощи сложения: Катя нашла 5 грибов, Даша нашла 3 гриба. Сколько грибов нашли девочки?

В задаче рассматриваются три множества: множество А грибов Кати, множество В – грибов Даши и их объединение. Требуется узнать число элементов в этом объединении, а оно находится сложением.  Пусть n(A)=5, n(B)=3, AB= . А={a, s, d, f, g}, B={z, x, c}. Тогда АВ= {a, s, d, f, g, z, x, c}, и n(АВ)=8. Согласно определению суммы в теоретико-множественном подходе, 5 + 3 = 8. Значит, девочки нашли 8 грибов.

Дадим теоретико-множественное истолкование суммы нескольких слагаемых, и, используя полученный вывод, найдем сумму  3 + 4 + 2 + 9.

Пусть сумма двух слагаемых определена и определена сумма k слагаемых. Тогда сумма, состоящая из k+1 слагаемого, т.е.  равна .

Значит, чтобы найти сумму 3 + 4 + 2 + 9, согласно этому определению, надо выполнить следующие преобразования: 3 + 4 + 2 + 9 = (3 + 4 + 2) + 9 = ((3 + 4) + 2) + 9 = (7 +2) + 9 = 9 +9 = 18.

 Найдем значение выражения и объясните, какие законы сложения были при этом использованы: (16 + 9) + 21 + 14.

Решение. Используем ассоциативность, что позволяет нам опустить скобки: 16 + 9 + 21 + 14. Используя коммутативность, получим 16 + 14 + 9 + + 21. Используя снова ассоциативность, расставим скобки в нужном нам месте:  (16 + 14) + (9 +21). Вычислим значения в скобках: 30 + 30. В итоге получим 60. Значит значение выражения (16 + 9) + 21 + 14 равно 60.