Положительные рациональные числа

Отношение равенства является отношением эквивалентности на множестве дробей, поэтому оно порождает на нём классы эквивалентности. В каждом таком классе содержатся равное между собой дроби. Например, множество дробей {, , , , …} – это один класс, множество дробей {, , , , …} – это другой класс и т.д.

Дроби одного класса выражают длину одного и того же отрезка. Но длина отрезка должна представляться единственным числом. Поэтому считают, что равные дроби – это различные записи одного и того же положительного рационального числа.

Положительным рациональным числом называется класс дробей, а каждая дробь, принадлежащая этому классу, есть запись (представление) этого числа.

Например, о дроби  мы должны говорить, что она является записью некоторого рационального числа. Однако часто для краткости говорят:  – это рациональное число.

Множество всех положительных рациональных чисел принято обозначать символом Q+. Определим на это множество отношение равенства.

Если положительное рациональное число a представить дробью , а положительное рациональное число b – другой дробью , то a = b тогда и только тогда, когда   mq=np.

Из данного определения следует, что равные рациональные числа представляются равными дробями. Среди всех записей любого положительного рационального числа выделяют дробь, которая является несократимой, и доказывают, что любое рациональное число представимо единственным образом несократимой дробью (мы это доказательство опускаем). Для того чтобы рациональное число  представить несократимой дробью, достаточно числитель m и знаменатель n разделить на их наибольший общий делитель.

Выяснить теперь, как определяются арифметические действия с положительными рациональными числами.

Пусть при некотором единственном отрезке e длина отрезка x выражается дробью , а длина отрезка у – дробью , и пусть отрезок z состоит из отрезков x и y. Такая n-ая часть отрезка e укладывается в отрезок z m+p раз, т.е. длина отрезка z выражается дробью . Поэтому полагают, что  .

Если положительное рациональное число a представить дробью , а положительное рациональное число b – дробью , то их суммой называется число a+b, которое представляется дробью .

Таким образом по определению

.                                                          (1)

Можно доказать, что при замене дробей  и , представляющих числа а и b, равными им дробями, дробь  заменяется равной ей дробью. Поэтому сумма рациональных чисел не зависит от выбора представляющих их дробей.

В определении суммы рациональных чисел мы использовали их представления в виде дробей с одинаковыми знаменателями. Если же числа а и b представлены дробями с различными знаменателями, то сначала надо привести их к одному знаменателю, а затем применить правило (1).

Сложение положительных рациональных чисел коммутативно и ассоциативно,

( Q+)  a + b = b + a;

( Q+)  (a + b) + c = a + (b + c).

Докажем, например, коммутативность сложения. Представим числа а и b дробями  и . Тогда сумма a+b представляется дробью , а сумма b+a –  дробью . Так как m, p, n – натуральные числа, то m+p = p+m и, следовательно, a+b = b+a. Таким образом, коммутативность сложения положительных рациональных чисел вытекает из коммутативности сложения натуральных чисел.

Если положительное числа а представлено дробью , а положительное рациональное число b – дробью  , то их произведением называется число  ab, которое представляет дробью .

Таким образом, по определению,

.                                                                             (2)

Можно доказать, что при замене дробей   и   , представляющих числа a и  b, равными им дробями, дробь    заменяется равной ей дробью. Поэтому произведение чисел a и b не зависит от выбора представляющих их дробей.

Умножение положительных рациональных чисел коммутативно, ассоциативно и дистрибутивно относительно сложения и вычитания. Доказательство этих свойств основывается на определении умножения и сложения положительных рациональных чисел, а также на соот­ветствующих свойствах сложения и умножения натуральных чисел.

Определение сложения положительных рациональных чисел дает возможность определить отношение «меньше» на множестве Q+.

 Пусть a и b - положительные рациональные числа. Считают, что число b меньше числа а, если существует такое положительное рациональное число с, что а =b + с.

В этом же случае считают, что число а больше числа b. Пишут b < a,

 a >b.

Так определенное отношение «меньше» обладает рядом свойств, которые мы приводим без доказательства.

1. Отношение «меньше» на множестве Q+ антисимметрично и транзитивно, т.е. является отношением порядка, а множество Q+ упорядо­ченным множеством.

2. Если рациональные числа a и b представлены дробями   и  (т.е. дробями, имеющими одинаковые знаменатели), то a <b в том и только в том случае, когда m < p.

3. Если рациональные числа a и b представлены дробями   и   (т.е. дробями, имеющими разные знаменатели), то a < b в том и толь­ко в том случае, когда mq < пр.

4. Во множестве положительных рациональных чисел нет наимень­шего числа.

5. Между любыми двумя различными числами а и b из Q+ заклю­чено бесконечно много чисел этого же множества. Это свойство назы­вают свойством плотности множества Q+.

6. Во множестве положительных рациональных чисел нет наиболь­шего числа.

Вычитание положительных рациональных чисел определяется как операция, обратная сложению, т.е. это такая операция, которая удов­летворяет условию: a – b = c тогда и только тогда, когда a = b + c.

Разность а - b положительных рациональных чисел существует тог­да и только тогда, когда b < а. Если разность а - b существует, то она единственна.

Используя определение и условие существования разности, можно получить правило вычитания положительных рациональных чисел, представленных дробями    и   ,  где    т < р:

                                                            (3)

Деление положительных рациональных чисел определяется как операция, обратная умножению, т.е. это такая операция, которая удовле­творяет условию:  тогда и только тогда, когда .

Из этого определения и правила нахождения произведения положи­тельных рациональных чисел можно получить правило деления положительных рациональных чисел, представленных дробями  и :

.                  (4)

Из этого правила следует, что частное положительных рациональ­ных чисел всегда существует.