Смысл произведения и частного натуральных чисел, полученных в результате измерения величин

Если отрезок а состоит из р отрезков, равных е (а = ре), а отрезок е состоит из q отрезков равных е    (е = qе), то мера отрезка а при единице длины е будет равна рq.          Таким образом, умножение натуральных чисел как мер отрезков отражает переход к новой (более мелкой) единице длины (рис. 22).

Действительно, число частей отрезка а, равных отрезку е, выражается так:  р + р + р + … + р  =  рq. Значит, а = (рq)  е.  

Пусть отрезок b состоит из m отрезков, равных е (b = me), а отрезок е состоит из n отрезков, равных е (е= ne). Тогда мера отрезка b при единице е будет равна m : n. Действительно, если е = ne, то е = е: n. Тогда b    = me = m(е: n) = (m : n) е (рис. 23).

Таким образом, деление натуральных чисел, рассматриваемых как значения длин отрезков, отражает переход к новой              (более крупной)  единице  длины.

Объясним смысл произведения 43, если 4 и 3 – числа, полученные в результате измерения величин.

Решение. Пусть 4 – мера измерения величины Х при единице е, а 3 – мера измерения величины е при единице е, т.е. е – первоначальная единица величины, е - новая единица величины. Тогда 43 – это численной значение величины Х при единице е (рис. 23). Пусть Х – длина отрезка а. Если е – первоначальная единица длины данного отрезка, то      Х = 4е. Если е -  новая единица длины, такая, что е = 3е, то Х = 4е =   4 (3 е) =      (43)  е= 12 е.

Объясним смысл частного 8 : 2, если 8 и 2 – числа, полученные в результате измерения величин.

Решение. Пусть 8 – мера измерения величины Х при единице е, а 2 – мера измерения величины е при единице е. Тогда 8 : 2 – это численное значение величины Х при единице е (рис.24). Пусть Х –длина отрезка b. Если е – первоначальная единица длины данного отрезка, то Х = 8е. Если      е - новая единица длины. Такая, что е = 2е, то Х = 8е = 8 (е: 2) =            (8 : 2)  е = 4 е.

Задача. В буфете было 5 банок сока, по 3 л в каждой банке. Сколько всего сока в этих банках? Обоснуем выбор способа действия при решении данной задачи.

весь сок          1банка          1л                                                                  Рис.24

Решение. В задаче идет речь о двух единицах объема, занимаемого соком, - банках и литрах. Сначала он измерен банками, а затем его надо измерить новой единицей – литром, причем известно, что в старой единице (банке) содержится 3 новые единицы (3 литра) (рис. 24). Значит,  5  1б = 5  (3 л) = 5  (3  1 л) = (5  3)  1 л = 15 л.

Таким образом, мы получили измерения объема сока в более мелкой единице – литрах.

Ответ: в буфете было 15 л сока.

Задача. Решим задачу и обоснуем выбор действий: «12 кг варенья надо разложить в банки, по 3 кг в каждую. Сколько банок потребуется?».

Решение. В задаче рассматривается две единицы измерения – килограмм и банка. В условии масса варенья измерена килограммами.

Так как в задаче требуется выразить результат измерения массы варенья в банках, т.е. в новой единице, и известно, что в новой единице содержится три старых (1 банка = 3 кг), то рассуждения, связанные с поиском численного значения массы при единице «банка» можно представить в таком виде:     12 кг = 12  1 кг = 12   б. = 12  ( 1 б.) = (12  )  1 б.  =(12 : 3)  1 б. = 4  1 б. = 4 банки (рис 25).

 Следовательно, задача решается делением, поскольку нужно перейти от одной единицы величины к более крупной другой: 12 кг : 3 кг = 4 банки.

Ответ: потребуется 4 банки.