Если отрезок а состоит из р отрезков, равных е (а = ре), а отрезок е состоит из q отрезков равных е (е = qе), то мера отрезка а при единице длины е будет равна рq. Таким образом, умножение натуральных чисел как мер отрезков отражает переход к новой (более мелкой) единице длины (рис. 22).
Действительно, число частей отрезка а, равных отрезку е, выражается так: р + р + р + … + р = рq. Значит, а = (рq) е.
Пусть отрезок b состоит из m отрезков, равных е (b = me), а отрезок е состоит из n отрезков, равных е (е= ne). Тогда мера отрезка b при единице е будет равна m : n. Действительно, если е = ne, то е = е: n. Тогда b = me = m(е: n) = (m : n) е (рис. 23).
Таким образом, деление натуральных чисел, рассматриваемых как значения длин отрезков, отражает переход к новой (более крупной) единице длины.
Объясним смысл произведения 43, если 4 и 3 – числа, полученные в результате измерения величин.
Решение. Пусть 4 – мера измерения величины Х при единице е, а 3 – мера измерения величины е при единице е, т.е. е – первоначальная единица величины, е - новая единица величины. Тогда 43 – это численной значение величины Х при единице е (рис. 23). Пусть Х – длина отрезка а. Если е – первоначальная единица длины данного отрезка, то Х = 4е. Если е - новая единица длины, такая, что е = 3е, то Х = 4е = 4 (3 е) = (43) е= 12 е.
Объясним смысл частного 8 : 2, если 8 и 2 – числа, полученные в результате измерения величин.
Решение. Пусть 8 – мера измерения величины Х при единице е, а 2 – мера измерения величины е при единице е. Тогда 8 : 2 – это численное значение величины Х при единице е (рис.24). Пусть Х –длина отрезка b. Если е – первоначальная единица длины данного отрезка, то Х = 8е. Если е - новая единица длины. Такая, что е = 2е, то Х = 8е = 8 (е: 2) = (8 : 2) е = 4 е.
Задача. В буфете было 5 банок сока, по 3 л в каждой банке. Сколько всего сока в этих банках? Обоснуем выбор способа действия при решении данной задачи.
|
Таким образом, мы получили измерения объема сока в более мелкой единице – литрах.
Ответ: в буфете было 15 л сока.
Задача. Решим задачу и обоснуем выбор действий: «12 кг варенья надо разложить в банки, по 3 кг в каждую. Сколько банок потребуется?».
Так как в задаче требуется выразить результат измерения массы варенья в банках, т.е. в новой единице, и известно, что в новой единице содержится три старых (1 банка = 3 кг), то рассуждения, связанные с поиском численного значения массы при единице «банка» можно представить в таком виде: 12 кг = 12 1 кг = 12 б. = 12 ( 1 б.) = (12 ) 1 б. =(12 : 3) 1 б. = 4 1 б. = 4 банки (рис 25).
Следовательно, задача решается делением, поскольку нужно перейти от одной единицы величины к более крупной другой: 12 кг : 3 кг = 4 банки.
Ответ: потребуется 4 банки.