Если отрезок а состоит из р отрезков, равных е (а = ре), а отрезок е состоит из q отрезков равных е
(е = q
е
), то мера отрезка а при единице длины е
будет равна р
q. Таким образом, умножение натуральных чисел как мер отрезков отражает переход к новой (более мелкой) единице длины (рис. 22).
Действительно, число частей отрезка а, равных отрезку е, выражается так: р + р + р + … + р = р
q. Значит, а = (р
q)
е
.
Пусть отрезок b состоит из m отрезков, равных е (b = me), а отрезок е состоит из n отрезков, равных е (е
= ne). Тогда мера отрезка b при единице е
будет равна m : n. Действительно, если е = ne, то е = е
: n. Тогда b = me = m(е
: n) = (m : n)
е
(рис. 23).
Таким образом, деление натуральных чисел, рассматриваемых как значения длин отрезков, отражает переход к новой (более крупной) единице длины.
Объясним смысл произведения 43, если 4 и 3 – числа, полученные в результате измерения величин.
Решение. Пусть 4 – мера измерения величины Х при единице е, а 3 – мера измерения величины е при единице е, т.е. е – первоначальная единица величины, е
- новая единица величины. Тогда 4
3 – это численной значение величины Х при единице е
(рис. 23). Пусть Х – длина отрезка а. Если е – первоначальная единица длины данного отрезка, то Х = 4
е. Если е
- новая единица длины, такая, что е = 3
е
, то Х = 4
е = 4
(3
е
) = (4
3)
е
= 12 е
.
Объясним смысл частного 8 : 2, если 8 и 2 – числа, полученные в результате измерения величин.
Решение. Пусть 8 – мера измерения величины Х при единице е, а 2 – мера измерения величины е при единице е. Тогда 8 : 2 – это численное значение величины Х при единице е
(рис.24). Пусть Х –длина отрезка b. Если е – первоначальная единица длины данного отрезка, то Х = 8
е. Если е
- новая единица длины. Такая, что е
= 2
е, то Х = 8
е = 8
(е
: 2) = (8 : 2)
е
= 4 е
.
Задача. В буфете было 5 банок сока, по 3 л в каждой банке. Сколько всего сока в этих банках? Обоснуем выбор способа действия при решении данной задачи.
|
Таким образом, мы получили измерения объема сока в более мелкой единице – литрах.
Ответ: в буфете было 15 л сока.
Задача. Решим задачу и обоснуем выбор действий: «12 кг варенья надо разложить в банки, по 3 кг в каждую. Сколько банок потребуется?».
Так как в задаче требуется выразить результат измерения массы варенья в банках, т.е. в новой единице, и известно, что в новой единице содержится три старых (1 банка = 3 кг), то рассуждения, связанные с поиском численного значения массы при единице «банка» можно представить в таком виде: 12 кг = 12 1 кг = 12
б. = 12
(
1 б.) = (12
)
1 б. =(12 : 3)
1 б. = 4
1 б. = 4 банки (рис 25).
Следовательно, задача решается делением, поскольку нужно перейти от одной единицы величины к более крупной другой: 12 кг : 3 кг = 4 банки.
Ответ: потребуется 4 банки.