Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе

Сложением натуральных чисел называется алгебраическая операция, обладающая следующими свойствами:

1) ; ;

2).

Будем считать, что 0 + 0 = 0.

Число а + b называется суммой чисел а и b, а сами числа слагаемыми.

Теорема. Сложение натуральных чисел существует и оно единственно.

Докажем единственность сложения натуральных чисел.

Доказательство. Допустим, что в множестве N существуют две операции сложения, обладающие свойствами 1 и 2. Одну из них обозначим знаком +, а другую – знаком . Для этих операций имеем:

1)  а + 1 = а;                              1) а  1 = а;

2)  а + b = (а + b)                     2) a  b =  (a  b).

Докажем, что   (1)

Пусть число а выбрано произвольно, а b принимает различные натуральные значения. Обозначим через М множество всех тех и только тех чисел b, для которых равенство (1) истинно.

Нетрудно убедиться в том, что 1М. Действительно, из того, что           а + 1 = а= а   1, следует, что а + 1 = а   1.

Докажем теперь, что если bM, то bM, т.е. если а + b = а b, то        а + b = a  b. Так как а + b = а b, то по аксиоме 2  (а + b) = (а b), и тогда а + b= (а + b) = (а b)= a  b. Поскольку множество М содержит 1 и вместе с каждым числом b содержит и число b, то по аксиоме 4 множество М совпадает с N, а значит равенство (1) истинно для любого натурального числа b. Так как число а было выбрано произвольно, то равенство (1) верно при любых натуральных а и b, т.е. операции + и  на множестве N могут отличаться друг от друга только обозначениями.

Докажем существование сложения натуральных чисел.

Доказательство. Покажем, что алгебраическая операция, обладающая свойствами 1 и 2, указанными в определении, существует.

Пусть М – множество тех и только тех чисел а, для которых можно определить а + b так, чтобы выполнялись условия 1 и 2.

Покажем, что 1М. Для этого при любом b предположим 1 + b = b (2). Тогда:

1) 1 + 1 = 1 -  по правилу (2), т.е. выполняется равенство а + 1 = а при а = 1.

2) 1 + b = (b) = (1 + b) - по правилу (2), т.е. выполняется равенство а + b = (а + b) при а = 1.

Итак, 1 принадлежит множеству М.

Предположим, что а принадлежит М. Исходя из этого предположения, покажем, что и  а содержится в М, т.е. что можно определить сложение а и любого числа b так, чтобы выполнялись условия 1 и 2. Для этого положим:

а + b = (а + b).

Так как по предположению число а + b определено, то по аксиоме 2 единственным образом определяется и число  (а + b). Проверим, что при этом выполняются условия 1 и 2:

1) а+ 1 = (а + 1) = (а).

2) а + b = (а + b) = ((а + b)) = (а + b).

Итак, показали, что множество М содержит 1 и вместе с каждым число а содержит и число а. По аксиоме 4 заключаем, что множество М есть множество натуральных чисел.

Таким образом, существует правило, которое позволяет для любых натуральных  чисел а и b однозначно найти такое натуральное число а + b, что выполняются свойства 1 и 2, сформулированные в определении сложения.

Теорема.   

Доказательство. Пусть а – натуральное число, выбранное произвольно, а b принимает различные значения. Обозначим через М множество тех и только тех натуральных чисел b, для которых данное утверждение истинно. Тогда 1 содержится в М, т.к. а + 1 = а                       (по определению сложения), а 1 не следует ни за каким числом (аксиома 1), то    а + 1 1.

Если число b принадлежит М, т.е. а + b  b, то и bпринадлежит М, т.е. а + b b. Действительно, по определению сложения  а + b = (а + b), но поскольку а + b  b, то  (а + b) b. Значит, а + b b.

По аксиоме 4 множества М и N совпадают, следовательно, для любых натуральных чисел а и b верно утверждение а + b  b

Покажем, как из определения сложения и его существования и единственности можно вывести таблицу сложения однозначных чисел.

Условимся о следующих обозначениях:

1 = 2,   2= 3,   3 = 4,   4 = 5 и т.д.

Составим таблицу в следующей последовательности: сначала к любому однозначному числу прибавляем единицу, затем – число два, потом – три и т.д.

1 + 1 = 1 на основании свойства 1 определения сложения. Но 1= 2, следовательно, 1 + 1 = 2.

Аналогично   2 + 1 = 2= 3;     3 + 1 =  3= 4 и т.д.

Рассмотрим теперь случаи, связанные с прибавлением к любому однозначному натуральному числу числа 2.

1 + 2 = 1 + 1= (1 + 1)= 2= 3.

Аналогично 2 + 2 = 2 + 1 =( 2 + 1)= 3 = 4;     3 + 2 = 3 + 1 =( 3 + 1)=  4 = 5  и т.д.

Если продолжить этот процесс, то получим всю таблицу сложения однозначных чисел.

Найдем с помощью аксиоматического подхода к построению теории натуральных чисел сумму 6 + 3.

Решение. Такой подход является основой начального обучения математике. Получение чисел путем прибавления 1 тесно связано с принципом построения натурального ряда, а второе свойство сложения используется при вычислениях: 6 + 3 =  6 +  2= (6 +  2)= (6 + 1)= ((6 + 1))= (6))= (7)= 8= 9.

На языке начального курса математики это выглядит так:  6 + 3 = (6 + 2) + 1 = ((6 + 1) + 1) + 1 = (7 + 1) + 1 = 8 + 1 = 9.

Сложение обладает свойствами ассоциативности ((a + b) + c = a + (b + c)) и коммутативности (a + b = b + a).

Доказать, что для любых чисел a и b выполняется равенство (a + b) + c = a + (b + c).

Доказательство. Пусть натуральные числа а и b выбраны произвольно, а с принимает различные натуральные значения. Обозначим через М множество всех тех чисел с, для которых равенство (a + b) + c = a + (b + c).

Докажем сначала, что 1 содержится в М, т.е. убедимся в справедливости равенства (а + b) + 1 = a + (b + 1). Действительно, по определению сложения (a + b) + c = (a + b)= a + b= a + (b + 1).

Докажем теперь, что если с М, то и с М,  т.е. из равенства (a + b) + c = a + (b + c) следует равенство (a + b) + c = a + (b + c). Действительно, по определению сложения, имеем: (a + b) + c =((a + b) + c) =  (a + (b + c)) = a + (b + c)= a + (b + c).

Таким образом, мы показали, что множество М содержит 1, и из того, что с содержится в М, следует, что и с М. Следовательно, согласно аксиоме Пеано 4, М = N, т.е. равенство (a + b) + c = a + (b + c) истинно для любого натурального числа с. А поскольку числа а и b выбирались произвольно, то истинно и для любых натуральных чисел а и b, что и требовалось доказать.

Аналогично, можно доказать и коммутативность сложения.

Доказательство. Состоит из двух частей: сначала доказывают, что  а +1 = 1 + а, затем, что  .

Рассмотрим первую часть. Пусть М – множеством всех тех и только тех чисел а, для которых а +1 = 1 + а истинно.

Так как 1 + 1 = 1 + 1 – истинное равенство, то 1 принадлежит множеству М.

Докажем теперь, что если аМ, то аМ, т.е. из равенства а +1 = 1 + а следует равенство  а+1 = 1 + а. Действительно,  а+1 = (а + 1) + 1 по первому свойству сложения. Далее (а + 1) + 1 = (1 + а) + 1. На основе ассоциативного закона получаем 1 + (а + 1). И наконец, по определению сложения, получаем:  1 + (а + 1) = 1 + а.

Таким образом, мы показали, что множество М содержит 1 и вместе с каждым числом а содержит число  а.Следовательно, согласно аксиоме 4, М = N, т.е. равенство  а +1 = 1 + а истинно для любого натурального а.

Докажем, что  a + b = b + a. Пусть а – произвольно выбранное натуральное число, а b принимает различные натуральные значения. Обозначим через М множество всех тех и только тех натуральных чисел b, для которых равенство a + b = b + a истинно.

Так при b = 1 получаем равенство а +1 = 1 + а, истинность которого доказана выше, значит 1 содержится в М.

Докажем теперь, что если b принадлежит М, то и b также принадлежат М, т.е. из равенства a + b = b + a следует равенство а + b= b+ а. 

Действительно, по определению сложения, имеем: а + b= (а + b). Так как a + b = b + a, то (а + b) = (b + а). Отсюда, по определению сложения, имеем (b + а) = b + а = b + (а + 1) = b + (1 + а). Применив ассоциативное свойство и определение сложения, выполняем преобразования: b + (1 + а) = (b + 1) + а = b+ а

Итак, мы показали, что 1 содержится в множестве М и вместе с каждым числом b множество содержит и число b, непосредственно следующее за   b. по аксиоме 4 получаем, что М = N, т.е. равенство a + b = b + a истинно для любого натурального числа b, а также для любого натурального числа а, поскольку его выбор был произвольным.

Выполним преобразование выражения, применив свойства сложения: а) 8091 + (2809 + 409);   б) 386 + 187 + 1213 + 1564;   в) (8073 + 2329) + 1671.

Решение. а)  8091 + (2809 + 409) = [применим ассоциативность и переставим скобки] = (8091 + 2809) + 409 = 10900 + 409 = 11309;

б) 386 + 187 + 1213 + 1564 = [применим коммутативность, что позволит поменять числа местами]  = 386 + 1564 +187 + 1213 = [применим ассоциативность, что позволит расставить скобки в нужном месте] = (386 + 1564) + (187 + 1213) = 1950 + 1400 = 3350;

в) (8073 + 2329) + 1671 = [применим ассоциативность и опустим скобки] = 8073 + 2329 + 1671 = [применим снова ассоциативность и поставим скобки в нужном нам месте] = 8073 + (2329 + 1671) = 8073 + 4000 = 12073.