Теоретико-множественный смысл разности

 

Разностью целых неотрицательных чисел     а и b называется число элементов в дополнении множества В до множества А при условии, что n(A)=a, n(B)=b, BA, т.е. а - b = n(AB). Это обуславливается тем, что А=В(АВ), т.е. n(A)=n(B) + n(AB).

Докажем это. Так как по условию В – собственное подмножество множества А, то их можно представить так, как на рис. 3.

         Вычитание натуральных (целых неотрицательных) чисел определяется как операция, обратная сложению: а – b = с () b + c = a.

         Разность АВ на этом рисунке заштрихована. Видим, что множества В и   АВ не пресекаются и их объединение равно А. Поэтому число элементов в множестве А можно найти по формуле n(A)=n(B) + n(AB), откуда по определению вычитания как операции, обратной сложению, получаем n(AB) = а – b.

Аналогичное истолкование получает вычитание нуля, а также вычитание а из а. Так как А=А, АА=, то а – 0 = а и а – а = 0.

Разность а – b целых неотрицательных чисел существует тогда и только тогда, когда .

Действие, при помощи которого находят разность а – b, называется вычитанием, число а – уменьшаемым, b – вычитаемым.

Используя определения, покажем, что 8 – 5 = 3. Пусть даны два множества такие, что n(A) = 8, n(B) = 5. И пусть множество В является подмножеством множества А. Например,  А = {a, s, d, f, g, h, j, k}, B = {a, s, d, f, g}.

Найдем дополнение множества В до множества А:   АВ = {h, j, k}. Получаем, что n(AB) = 3.

Следовательно, 8 – 5 = 3.

Взаимосвязь вычитания чисел и вычитания множеств позволяет обосновать выбор действия при решении текстовых задач. Выясним, почему следующая задача решается при помощи вычитания, и решите ее: «У школы росло 7 деревьев, из них 3 березы, остальные липы. Сколько лип росло у школы?»

Представим условие задачи наглядно, изобразив каждое дерево, посаженное возле школы кружком (рис. 4). Среди них есть 3 березы – на рисунке выделим их штриховкой. Тогда остальные деревья – не заштрихованные кружки – и есть липы. Т. е. их столько, сколько будет из 7 вычесть 3, т. е. 4.

В задаче рассматриваются три множества: множество А всех деревьев, множество В – берез, которое является подмножеством А, и множество С лип – оно представляет собой дополнение множества В до А. В задаче требуется найти число элементов в этом дополнении.

 По условию n(A) = 7, n(B) = 3 и BА. Пусть А = {a, b, c, d, e, f, g},         B = {a, b, c}. Найдем дополнение множества А до В: AB = {d, e, f, g} и    n(AB) = 4.

Значит,  n(C) = n(AB) = n(A)- n(B) = 7 – 3 = 4.

Следовательно, у школы росло 4 липы.

Рассматриваемый подход к сложению и вычитанию целых неотрицательных чисел позволяет истолковать с теоретико-множественных позиций различные правила.

Правило вычитания числа из суммы: чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть это число из одного из слагаемых и к полученному результату прибавить другое слагаемое, т.е. при ас имеем, что  (a+b)-c=(a-c)+b; при bc имеем, что (a+b)-c=a+(b-c); при ac и bc можно использовать любую из данных формул.

Выясним смысл данного правила: Пусть А, В, С – такие множества, что n(A)=a, n(B)=b и    AB= , СА (рис.5).

Нетрудно доказать с помощью кругов Эйлера, что для данных множеств имеет место равенство .

Правая часть равенства имеет вид:

.

Левая часть равенства имеет вид: Следовательно (a + b) – c = (a– c) + b,при  условии, что  а>c.

Правило вычитания суммы из числа: чтобы вычесть из числа сумму чисел, достаточно вычесть из этого числа последовательно каждое слагаемое одно за другим, т.е. при условии, что  a b +c, имеем а – (b + c) = (a – b) – c.

Выясним смысл данного правила. Для данных множеств имеет место равенство .

Тогда получим, что правая часть равенства имеет вид:. Левая часть равенства имеет вид: .

Следовательно (a + b) – c = (a– c) + b, при  условии, что  а>c.

Правило вычитания разности из числа: чтобы вычесть из числа а разность b – c, достаточно к данному числу прибавить вычитаемое с и из полученного результата вычесть уменьшаемое b; при a > b можно вычесть из числа а уменьшаемое b и к полученному результату прибавить вычитаемое с, т.е.  а – (b – c) = (a + c) – b = (a – b) +c.

Выясним смысл данного правила: Пусть А, В, С - такие множества, что n(A) = a, n(B) = b, n(C) = c и  СВ,  ВА (рис.6). Тогда а – (b – c) есть число элементов  множества А(ВС), а число (a + c) – b есть число элементов множества . На рисунке 5 множество А(ВС) изображено штриховкой. Легко убедиться в том, что множество  изобразится точно такой же областью.

Значит, А(ВС) = .

Следовательно,  n(А(ВС)) = n( ) и  а – (b – c) = (a + c) – b.

Правило вычитания числа из разности: чтобы из разности двух чисел вычесть третье число, достаточно из уменьшаемого вычесть сумму двух других чисел, т.е. (а – b) – c = a – (b + c).Доказывается аналогично правилу вычитания суммы из числа.

Пример. Какими способами можно найти разность: а)  15 – (5 + 6);   б) (12 + 6) – 2?

Решение. а) Используем правило вычитания суммы из числа:               15 – (5 + 6) = (15 – 5) – 6 = 10 – 6 = 4.

Или 15 – (5 + 6) = (15 – 6) – 5 = 9 – 4 = 4.

Или 15 – (5 + 6) = 15 – 11= 4.

б) Используем правило вычитания числа из суммы: (12 + 6) – 2 =       (12 – 2) + 6 = 10 + 6 = 16.

Или (12 + 6) – 2 = 12 + (6 – 2) = 12 + 4 = 16.

Или   (12 + 6) – 2 = 18 – 2 = 16.

Данные правила позволяют упростить вычисления и широко используются в начальном курсе математики.