Множество положительных рациональных чисел как расширение множества натуральных чисел

Чтобы множество Q+ положительных рациональных чисел являлось расширением множества N натуральных чисел, необходимо выполнение ряда условий.

Первое условие - это существование между N и Q+ отношения включения. Докажем, что N  Q+.

Пусть длина отрезка х при единичном отрезке е выражается натуральным  числом т. Разобьем единичный отрезок на п равных частей. Тогда n-ая часть единичного отрезка будет укладываться в отрезке х точно  раз, т.е. длина отрезка х будет выражена дробью . Значит, длина отрезка х выражается и натуральным числом т, и положительным рациональным числом . Но это должно п быть одно и то же число. Поэтому целесообразно считать, что дроби вида  являются записями натурального числа т. Следовательно, N  Q+.

Так, например, натуральное число 6 можно представить в виде следующих дробей: , , , , , и т. д.

Отношение между множествами N и Q+ представлено на рисунке 28.

Числа, которые дополняют множество на­туральных чисел до множества положительных  рациональных, называются дробными.

                          Второе условие, которое должно быть вы­полнено при расширении множества нату­ральных чисел, - это согласованность опера­ций, т.е. результаты арифметических дейст­вий, произведенных по правилам, существующим для натуральных чисел, должны совпадать с результатами действий над ними, но вы­полненных по правилам, сформулированным для положительных рациональных чисел. Нетрудно убедиться в том, что и это условие выполняется.

Пусть а и b - натуральные числа,  - их сумма, полученная по правилам сложения в N. Вычислим сумму чисел а и b по правилу сложения в Q+. Так как , , то .

Убедиться в том, что второе условие выполняется и для других операций, можно аналогично или подсмотреть тут http://www.zaochnik.com/kontrol.html .

Третье условие, которое должно быть выполнено при расшире­нии множества натуральных чисел - это выполнимость в Q+ операции, не всегда осуществимой в N. И это условие соблюдено: деление, которое не всегда выполняется в множестве N, в множестве Q+ вы­полняется всегда.

Сделаем еще несколько дополнений, раскрывающих взаимосвязи между натуральными и положительными рациональными числами.

1. Черту в записи дроби  можно рассматривать как знак деления.

Действительно, возьмем два натуральных числа т и п и найдем их частное по правилу (4) деления положительных рациональных чисел:

Обратно, если дана дробь , то ее можно рассматривать как частное натуральных чисел т и п: .

2. Любую неправильную дробь можно представить либо в виде натурального числа, либо в виде смешанной дроби.

Пусть  - неправильная дробь. Тогда т > п. Если т кратно п, то в этом случае дробь  является записью натурального числа. Если число т не кратно п, то разделим т на п с остатком: , где . Подставим  вместо т в запись  и применим правило (1) сложения положительных рациональных чисел:

.

Так как , то дробь  - правильная. Следовательно, неправильная дробь  оказалась представленной в виде суммы натурального числа q и правильной дроби . Это действие называется выделением целой части из неправильной дроби. Например, .

Сумму натурального числа и правильной дроби принято записывать без знака сложения: т.е. вместо  пишут  и называют та­кую запись смешанной дробью.

Справедливо также утверждение: всякую смешанную дробь можно записать в виде неправильной дроби. Например:

.