Отношение «больше на…» и «меньше на…»

Пусть a и b – целые неотрицательные числа, такие, что n(A) = a,       n(B) = b, и установлено, что a < b. Это значит, что в множестве  В можно выделить собственное подмножество В, равномощное множеству А, и множество  В В не пусто. Пусть n(В В) = с и с0. Тогда в множестве В элементов столько же, сколько в множестве А, да еще с элементов. В этом случае говорят, что число а меньше числа b на с или что число b больше  числа а на с.

Так как с = n(В В), где ВВ, то c = b – a.

 Следовательно, чтобы узнать, на сколько одно число меньше или больше другого, надо из большего числа вычесть меньшее.

Взаимосвязь действий над множествами с действиями над числами, теоретико-множественный смысл отношений «меньше на», «больше на», позволяют обосновать выбор действий при решении задач с этими отношениями.

Рассмотрим, например, задачу: «На верхней полке шкафа 5 книг, а на нижней – на 2 больше. Сколько книг на нижней полке?»

Решим задачу и объясним ее решение.

Решение. В задаче идет речь о двух множествах: множестве книг на верхней полке (А) и множестве книг на нижней полке (В), т.е.         n(A) = 5. Число элементов множества требуется найти при условии, что в нем на 2 элемента больше, чем в первом. Наглядно это можно изобразить с помощью кружков (рис.7). Отношение «больше на» означает, что в множестве В столько же элементов, сколько их в А, да еще 2 элемента.

Пусть  А = {a, b, c, d, f},   В = В(ВВ). Т.к. В~A, то предположим   В= {q, w, e, r, t}.

 Тогда число книг, на которые на нижней полке больше, чем на верхней, обозначим C = В В= {z, x}. Найдем множество книг на нижней полке: В = {q, w, e, r, t, z, x}, n(B) = 7.

Это значит, что n(B) = n(В) + n(ВВ). Т.к. В~A, то                            n(B) = n(A) + n(BA) = 5 + 2 = 7. Следовательно, на нижней полке 7 книг.

Рассмотрим еще одну задачу. Во дворе гуляли 6 мальчиков, а девочек на 2 меньше.  Сколько было девочек?

В задаче речь идет о двух множествах: множестве А мальчиков, множестве В девочек. Известно, что в первом множестве 6 элементов, т.е. n(A) = 6. Число элементов во втором множестве надо найти при условии, что в нем на 2 элемента меньше, чем в первом. Отношение «меньше на» означает, что в множестве В элементов столько же, сколько в А, только без двух. Наглядно это можно представить с помощью треугольников (рис.8).

Таким образом, n(B) = n(A) = n(A) – n(A A) = 6 – 2 = 4.

Следовательно, девочек во дворе было 4.

Объясним решение следующей задачи: «У школы посадили 3 дуба и 7 лип. На сколько больше посадили лип?»

Решение. В задаче рассматриваются два: множество дубов А и множество лип В. Известно, что лип посадили больше. Тогда, чтобы ответить на вопрос задачи, достаточно воспользоваться сформулированным выше правилом и  найти ответ при помощи вычитания: 7 – 3 = 4 (липы).

Однако возникает вопрос: можно ли из количества лип вычитать количество дубов? Дело в том, что в данном случае мы из 7 лип вычитаем 3 липы. Чтобы убедиться в этом, изобразим дубы кружками, а липы квадратами (рис.9).

Чтобы ответить на вопрос задачи, выделим в множестве лип подмножество В, равномощное множеству дубов  А, т.е. В~A и n(В) =3. Пусть А = {1, 2, 3}, В = {а, b, c, d, e, f, g}, В = {a, b, c}. Тогда остальные липы образуют  множества В:  B В= {d, e, f, g}, количество элементов в данном множестве n(BВ) = 4.

 Т.о., количество лип, которое необходимо найти,  равно разности           n(B В) = n(B) – n(В) = 7 – 3 = 4.