Запись чисел в десятичной системе счисления

Как известно, в десятичной системе счисления для записи чисел ис­пользуется 10 знаков (цифр): 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Из них образуются конечные последовательности, которые являются краткими записями чисел. Например, последовательность 3745 является краткой записью числа  З×103 + 7×102+4×10+5.

Десятичной записью натурального числа х называется его представление в виде: х = аn×10n+аn-1×10n-1 + ... + а1×10 + а0, где коэффициенты аn, аn-1, ..., а1, а0 принимают значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и аn ¹ 0.

Сумму аn×10n+аn-1×10n-1 + ... + а1×10 + а0 в краткой форме принято записывать так: .

Так как понятие числа и его записи нетождественны, то существование и единственность десятичной записи натурального числа надо доказывать.

Теорема. Любое натуральное число х можно представить в виде:

х = аn×10n+аn-1×10n-1 + ... + а1×10 + а0          (1)

где аn, аn-1, ..., а1, а0 принимают значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, и такая запись единственна.

Теорема. Пусть х и у - натуральные числа, запись которых дана в десятичной системе счисления:

х = аn×10n + аn-1×10n-1 + ... + а1×10 + а0;

y = bm×10m+bm-1×10m-1 + ... + b1×10 + b0

Тогда число х меньше числа у, если выполнено одно из условий:

а) n  < т;

б) п = т, но аk-1 < bk-1.

в) п = т, аn = bn, …, аk = bk, но аk-1 < bk-1.

Доказательство. В случае а) имеем: так как n
< m, то 10n+1 £ 10m , а поскольку х < 10n+1 и 10m £ у, то х < 10n+1 £ 10m £ у, т.е. х < у.

В случае б): если n = m, но аn < bn, то аn + 1 £ bn и поэтому

(аn + 1)
× 10n £ bn × 10n. А так как х < (аn + 1) × 10n и bn × 10n £ у, то

х < (аn + 1) × 10n < bn × 10n £ у, т.е. х < у.

Аналогично доказывается теорема и в случае в).

Например, если х = 345, а у = 4678, то х < у, так как первое число трехзначное, а второе - четырехзначное. Если х = 345, а у = 467, то х < у, так как в первом из двух трехзначных чисел меньше сотен. Если х = 3456, а у = 3467 , то х < у, так как, несмотря на то что в каждом из четырехзначных чисел число тысяч и сотен одинаковое, десятков в чис­ле х
меньше, чем в числе у.

Если натуральное число х представлено в виде х = аn×10n + аn-1×10n-1 + + ... + а1×10 + а0, то числа 1, 10, 102,..., 10n называют раз­рядными единицами соответственно первого, второго, ..., п + 1 разряда, причем 10 единиц одного разряда составляют одну единицу следую­щего высшего разряда, т.е. отношение соседних разрядов равно 10 - основанию системы счисления.

Три первых разряда в записи числа соединяют в одну группу и на­зывают первым классом, или классом единиц. В первый класс входят единицы, десятки и сотни.

Четвертый, пятый и шестой разряды в записи числа образуют вто­рой класс - класс тысяч. В него входят единицы тысяч, десятки тысяч и сотни тысяч.

Затем следует третий класс - класс миллионов, состоящий тоже из трех разрядов: седьмого, восьмого и девятого, т.е. из единиц миллио­нов, десятков миллионов и сотен миллионов.

Последующие три разряда также образуют новый класс и т.д. Вы­деление классов единиц, тысяч, миллионов и т.д. создает удобства для записи и прочтения чисел.

В десятичной системе всем числам можно дать название (имя). Это Достигается следующим образом: имеются названия первых десяти чисел, затем из них в соответствии с определением десятичной записи и путем прибавления еще немногих слов образуются названия после­дующих чисел. Так, числа второго десятка (они представляются в виде 1 × 10 + а0) образуются из соединения первых десяти названий и не­сколько измененного слова десять («дцать»):

одиннадцать - один на десять,

двенадцать - два на десять и т.д.

Может быть, естественнее было бы говорить «два и десять», но наши предки предпочли говорить «два на десять», что и сохранилось в речи.

Слово «двадцать» обозначает два десятка.

Числа третьего десятка (это числа вида 2 × 10 + а0) получают путем прибавления к слову «двадцать» названий чисел первого десятка: два­дцать один, двадцать два и т.д.

Продолжая далее счет, получим название чисел четвертого, пято­го, шестого, седьмого, восьмого, девятого и десятого десятков. На­звания этих чисел образуются так же, как и в пределах третьего де­сятка, только в трех случаях появляются новые слова: сорок (для обозначения четырех десятков), девяносто (для обозначения девяти десятков) и сто (для обозначения десяти десятков). Названия чисел второй сотни составляются из слова «сто» и названий чисел первого и последующих десятков. Таким путем образуются наименования: сто один, сто два, ..., сто двадцать и т.д. Отсчитав новую сотню, будем иметь две сотни, которые для краткости называют «двести». Для получения чисел, больших двухсот, снова воспользуемся назва­ниями чисел первого и последующих десятков, присоединяя их к слову «двести». Затем получим особые названия: триста, четыреста, пятьсот и т.д. до тех пор, пока не отсчитаем десять сотен, которые носят название тысяча.

Счет за пределами тысячи ведется так: прибавляя к тысяче по едини­це (тысяча один, тысяча два и т.д.), получим две тысячи, три тысячи и т.д. Когда же отсчитаем тысячу тысяч, то это число получит особое наименование - миллион. Далее считаем миллионами до тех пор, пока не дойдем до тысячи миллионов. Полученное новое число - тысяча миллионов - носит особое название миллиард, или биллион. В вычис­лениях миллион принято записывать в виде 106, миллиард - 109. По аналогии можно получить записи еще больших чисел: триллион - 1012, квадриллион – 1015ит.д.

Таким образом, для того чтобы назвать все натуральные числа в пределах миллиарда, потребовалось только 16 различных слов: один, два, три, четыре, пять, шесть, семь, восемь, девять, десять, сорок, де­вяносто, сто, тысяча, миллион, миллиард. Остальные названия чисел (в пределах миллиарда) образуются из основных.