Теоретико-множественный смысл произведения

Понятие произведения может быть определено по-разному. Рассмотрим подход, в основе которого лежит понятие суммы.

Если a, b – целые неотрицательные числа, то произведением ab называется число, удовлетворяющее следующим условиям:

1)    ab = а + а + а + …+ а, если b > 1;

                                b слагаемых

2)  ab = а, если b = 1;

3)  ab = 0, если b = 0.

С теоретико-множественных позиций ab (b > 1) представляет число элементов в объединении b множеств, каждое из которых содержит по а элементов и никакие два из них не пересекаются.

ab = n(), если n(A) = n(A) = … = n(A) = a  и множества   A, A, …, A попарно не пересекаются.

Рассмотрим подход, в основе которого лежит понятие декартового произведения множеств.

Пусть даны два множества: А = {}, B = {}. Найдем декартово произведение, которое запишем в виде прямоугольной таблицы:               (),  (),  …,  (),

(),  (),  …,  (),

……………………………

(),  (),   …,  ().

В каждой строке таблицы все пары имеют одинаковую первую компоненту, а в каждом столбце одинаковая вторая компонента. При этом никакие две строки не имеют хотя бы одной одинаковой пары.

Отсюда следует, что число элементов в декартовом произведении  равно сумме k слагаемых, каждое из которых равно n, т.е. произведению чисел n и k. Таким образом, n() = n(A) n(B).

     При k = 0 данное равенство также верно, поскольку В =  и   n() = n(A) n() = a  0 = 0.

С теоретико-множественной точки зрения произведение ab целых неотрицательных чисел есть число элементов в декартовом произведении множеств А и В, таких, что n(A) = a, n(B) = b.

  ab = n(A)  n(B) = n()

Действие, при помощи которого находят произведение чисел, называют умножением, а числа, которые умножают, называют множителями.

Умножение обладает коммутативностью, ассоциативностью и дистрибутивностью (переместительный, сочетательный и распределительный законы).

Рассмотрим коммутативность с точки зрения теоретико-множественного подхода, т.е. ab =ba.

Пусть  n(A )= a, n(B) = b. Тогда по определению произведения ab = n() . Но множества  =  равномощны: каждой паре (а;b) из множества   можно поставить в соответствие единственную пару (b;a) из множества , и наоборот.

Следовательно, n() = n(). Значит ab = ba.

Ассоциативность (ab)c = a(bc) вытекает из того, что множества () = ) равномощны, а значит n(()) = n()).

         Дистрибутивность рассматривают относительно сложения и вычитания. Рассмотрим относительно сложения: (a + b)c = ac + bc.

По определению произведения имеем (a + b)c = n((). Но , поэтому  n(() = n(, а значит и (a + b)c = ac + bc.

Объясним, почему 32 = 6?

Решение. Используя первое определение, произведение 32 можно записать в виде суммы 3 + 3. Возьмем различные множества К и С такие, что n(K) = n(C) = 3. Допустим К = {1, 2, 3}, C = { 4, 5, 6}. По определению нам нужно найти количество элементов в объединении КС. Т.к. КС = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, то n(КС) = 6. Значит 32 = 6.

Используем второе определение. Пусть n(A) = 3, n(B) = 2. А = {a, b, c}, B = {q, w}. Найдем декартово произведение данных множеств:  = {(a, q), (a, w), (b, q), (b, w), (c, q), (c, w)}. Количество пар в декартовом произведении равно 6. Значит 32 = 6

 Определим произведение нескольких множителей.

Пусть произведение двух множителей  определено и определено произведение n множителей. Тогда произведение, состоящее из n + 1 множителя, т.е. произведение , равно .

С помощью определения суммы нескольких множителей, найдем произведение 2759.

Решение. Чтобы найти произведение 2759 согласно этому правилу, надо выполнить последовательно следующие преобразования: (275)9 = ((27)5)9 = (145)9 = 709 = 630.

Обоснуем выбор решения нескольких задач.

Задача 1. На одно пальто пришивают 4 пуговицы. Сколько пуговиц нужно пришить на 3 таких пальто? Решите задачу и обоснуйте ее решение.

Решение. В задаче идет речь о трех множествах, в каждом из которых по 4 элемента. Требуется узнать число элементов в объединении этих трех множеств.

Если n(A) = n(A) = n(A) = 4, то n() = n(A) + n(A) + n(A) = 4 + 4 + 4 = 43 = 12.

Значит, на три пальто нужно пришить 12 пуговиц.

Задача 2. Школьники посадили в парке 4 ряда деревьев по 5 штук в каждом ряду. Сколько деревьев они посадили? Объясните, почему данная задача решается при помощи умножения.

Решение. Обозначим деревья кружками. Тогда получим 4 ряда кружков по 5 в каждом (рис.10). Всего таких кружков окажется 20, т.е. 45.

Возьмем множества А и В такие, что         n(A) = 4, n(B) = 5 и найдем их декартово произведение. Пусть А = {1, 2, 3, 4}, B = {5, 6, 7, 8, 9}. Тогда      = {(1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (1, 9), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (2, 9), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (3, 8), (3, 9),  (4, 5), (4, 6), (4, 7), (4, 8), (4, 9)}.

Рис.10

       Количество элементов в декартовом произведении n() = 20, т.е. n() =       n(A)  n(B) = 4 5 = 20.

     Следовательно,  школьники посадили  20  деревьев.

     Различные законы умножения позволяют упростить вычисления. Например, используя распределительный закон умножения, найдем 2978.

Решение. 2978 = (300 – 3) 8 = 3008 – 38 = 2400 – 24 = 2376.

Решим следующую задачу различными способами и обоснуем выбор способа: «В гараже в 3 ряда стояло по 9 машин. Из каждого ряда выехало 8 машин. Сколько машин осталось в гараже?»

Решение (рис. 11).         1 способ. Если в каждом ряду стояло по 9 машин и из каждого ряда выехало 8 машин, то в каждом ряду осталось по 1 машине. Так как всего 3 ряда, то и осталось 13 =

                                                                   3 машины.

2 способ. Найдем общее количество машин: 39 = 27. Теперь найдем количество машин, которые выехали из каждого из трех рядов: 38 =24. Тогда в гараже осталось 27 – 24 = 3 машины. Ответ: осталось 3 машины.