Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель

Рассмотрим известные из школьного курса математики понятия наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя натуральных чисел, сформулируем их основные свойства, опустив их доказательства.

Общим кратным натуральных чисел a и b называется число, которое кратно каждому из данных чисел.

Наименьшее число из всех общих кратных чисел a и b называется наименьшим общим кратным этих чисел.

Наименьшее общее кратное чисел a и b условимся обозначать K(a,b).

Например, два числа 12 и 18 общими кратными являются: 36,72,108,144,180 и т.д. Число 36 – наименьшее общее кратное чисел 12 и 18. Можно записать K(12,18)=36.

Для наименьшего общего кратного справедливы следующие утверждения:

1. Наименьшее общее кратное чисел a и b всегда существует и является единственным.

2. Наименьшее общее кратное чисел a и b не меньше большего из данных чисел, то есть если a > b, то K(a,b)≥a.

3. Любое общее кратное чисел a и b делится  на их наименьшее общее кратное.

Общим делителем натуральных чисел a и b называется число, которое является  делителем каждого из данных чисел.

Наибольший общий делитель

Наибольшее общее число из всех общих делителей чисел a и b называется наибольшим общим делителем данных чисел.

Наибольший общий делитель чисел a и b условимся обозначать D(a, b).

Например, для чисел 12 и 18 общими делителями являются числа: 1, 2, 3, 6. Число 6 – наибольший общий делитель чисел 12 и 18. Можно записать: D(12, 18)=6.

Число 1 является общим делителем любых двух натуральных чисел а и b. Если у этих чисел нет иных общих делителей, то D(a, b) = 1, а числа а и b называются взаимно простыми.

Например, числа 14 и 15 - взаимно простые, так как D(14, 15)= 1. Для наибольшего общего делителя справедливы следующие утверж­дения:

1. Наибольший общий делитель чисел а и b всегда существует и яв­ляется единственным.

2. Наибольший общий делитель чисел а и b не превосходит мень­шего из данных чисел, т.е. если а < b, то D(a, b) a.

3. Наибольший общий делитель чисел а и b делится на любой об­щий делитель этих чисел.

Наименьшее общее кратное чисел а и b и их наибольший общий делитель взаимосвязаны: произведение наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя чисел а и b равно произведению этих чисел, т.е. К(а, b)