Вычитание в десятичной системе счисления. Алгоритм вычитания

Вычитание однозначного числа b из однозначного или двузначно­го числа а, не превышающего 18, сводится к поиску такого числа с, что b+с=а, и происходит с учетом таблицы сложения однозначных чисел.

Если же числа а и b многозначные и b < а, то смысл действия вычи­тания остается тем же, что и для вычитания в пределах 20, но техника нахождения разности становится иной: разность многозначных чисел чаще всего находят, производя вычисления столбиком, по определен­ному алгоритму. Выясним, каким образом возникает этот алгоритм, какие теоретические факты лежат в его основе.

Рассмотрим разность чисел 586 и 342. Воспользуемся правилом записи чисел в десятичной системе счисления и представим данную разность в таком виде: 586–342=(5·102+8·10+6)–( 3·102+4·10+2).

Чтобы вычесть из числа 5·102+8·10+6 сумму 3·102+4·10+2, достаточно вычесть из него каждое слагаемое этой суммы одно за другим, и тогда: (5·102+8·10+6)–(3·102+4·10+2)=(5·102+8·10+6)–3·102–4·10–2.

Чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть его из какого-нибудь одного слагаемого (большего или равного этому числу). Поэтому число 3·102 вычитаем из слагаемого 5·102, число 4·10 – из слагаемого 8·10, а число 2 – из слагаемого 6, тогда: 

(5·102+8·10+6)-3·102–4·10–2=(5·102–3·102)+(8·10–4·10)+(6–2).

Воспользуемся дистрибутивностью умножения относительно вычитания и вынесем за скобки 102 и 10. Тогда выражение будет иметь вид:

(5–3)·102+(8–4)·10+(6–2). Видим, что вычитание трехзначного числа 342 из трехзначного числа 586 свелось к вычитанию однозначных чисел, изображенных цифрами соответствующих разрядов в записи заданных трехзначных чисел. Разности 5–3, 8–4 и 6–2 находим по таблице сложения и получаем выражение: 2·102+4·10+4, которое является записью числа 244 в десятичной системе счисления. Таким образом, 586–342=244.

Выражение (5–3)·102+(8–4)·10+(6–2) задает правило вычитания, которое обычно выполняется столбиком:

Видим, что вычитание многозначного числа из многозначного ос­новывается на:

-         способе записи числа в десятичной системе счисления;

-         правилах вычитания числа из суммы и суммы из числа;

-         свойстве дистрибутивности умножения относительно вычитания;

-         таблице сложения однозначных чисел.

Нетрудно убедиться в том, что если в каком-нибудь разряде умень­шаемого стоит однозначное число, меньше числа в том же разряде вычитаемого, то в основе вычитания лежат те же теоретические факты и .таблица сложения однозначных чисел.

Рассмотрим разность 850–437. Воспользуемся правилом записи чисел в десятичной системе счисления и представим эту разность в таком виде: 850–437=(8·102+5·10+0)–(4·102+3·10+7). Поскольку из числа 0 нельзя вычесть 7, то выполнить вычитание аналогичное тому, как было сделано в первом случае, невозможно. Поэтому возьмем из числа 850 один десяток и представим его в виде 10 единиц – десятичная система счисления позволяет это сделать – тогда будем иметь выражение:

      (8·102+4·10+10)–(4·102+3·10+7).

Если теперь воспользоваться правилами вычитания суммы из числа и числа из суммы, а также дистрибутивностью умножения относительно вычитания, то получим выражение (8–4)·102+(4–3)·10+(10–7) или 4·102+1·10+3. Последняя сумма есть запись числа 413 в десятичной системе счисления. Значит, 850–437=413.

Описанный процесс позволяет сформулировать в общем виде алгоритм вычитания чисел в десятичной системе счисления.

1.  Записываем вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы соответ­ствующие разряды находились друг под другом.

2. Если цифра в разряде единиц вычитаемого не превосходит соответствующей цифры уменьшаемого, вычитаем ее из цифры уменьшаемого, записываем разность в разряд единиц искомого числа, после чего переходим к следующему разряду.

3. Если же цифра единиц вычитаемого больше единиц уменьшаемого, т.е. b0 > a0, а цифра десятков уменьшаемого отлична от нуля, то  уменьшаем цифру десятков уменьшаемого на 1, одновременно увеличив цифру единиц уменьшаемого на 10, после чего вычитаем из числа 10 + а0 число b0 и записываем разность в разряде единиц искомого числа, далее переходим к следующему разряду.

4. Если цифра единиц вычитаемого больше цифры единиц умень­шаемого, стоящие в разряде десятков, сотен и т.д. уменьшаемого, равны нулю, то берем первую отличную от нуля цифру в уменьшаемом (после разряда единиц), уменьшаем ее на 1, все цифры в младших разрядах до разряда десятков включительно увеличиваем на 9, а цифру в разряде единиц на 10: вычитаем b0 из 10 + а0, записываем разность в разряде единиц искомого числа и переходим к следующему разряду.

5. В следующем разряде повторяем описанный процесс.

6. Вычитание заканчивается, когда производится вычитание из старшего разряда уменьшаемого.