Отрицательные числа

Возьмем координатную  прямую ОХ. Все точки, изображающие положительные действительные числа, располагаются справа от точки О. Например, точка А соответствует действительному числу 4, точка В – числу 5,5, точка С – числу

Отложим единичный отрезок от точки О 4 раза в направлении, противоположном заданному. Получим точку А’, симметричную точке  Относительно начала отсчета. Координату точки А’ обозначим -4, т.е. А’(-4). Аналогично координатой точки В’, симметричной точке В, считают число -5,5, а координатой точки С’, симметричной точке С, считают  число -. Числа 4 и -4, 5,5 и  -5,5,  и  - Называют противоположными. Числа, расположенные на координатной прямой в заданном направлении, называют положительными, а числа, расположенные на координатной прямой в направлении, противоположном заданному, - отрицательными. Число 0 не считается ни положительным ни отрицательным.

Объединение множества отрицательных действительных чисел с множеством положительных действительных чисел и нулем есть множество действительных чисел. Его обозначают буквой R.

Множество R действительных чисел и множество точек координатной прямой находятся во взаимном однозначном соответствии: каждому действительному числу соответствует единственная точка координатной прямой и каждая точка координатной прямой соответствует единственному действительному числу.

Действительные числа сравнивают, определяя отношения «меньше» и «больше» так: число  меньше числа , если оно расположено левее на координатной прямой; число  больше числа , если оно расположено правее на координатной прямой. Из этого определения вытекает, что любое отрицательное число меньше нуля. Кроме того, исходя из определений «меньше» и «больше» можно получить утверждение:  тогда и только тогда, когда разность  есть отрицательное число;  тогда и только тогда, когда разность  есть положительное число.

Для любых заданных действительных чисел  и  истинно одно и только одно из положений: , , .

Расстояние от начала отсчета до точки, координата которой является число , называется модулем числа и обозначается . Таким образом,

Приведем без доказательства свойство модуля действительного числа:

Действия над действительными числами выполняются по следующим правилам.

Суммой двух действительных чисел называется число, которое удовлетворяет условиям:

1) сумма двух положительных чисел есть число положительное, и находится по правилам, определенным во множестве положительных действительных чисел;

2) сумма двух отрицательных чисел есть число отрицательное; чтобы найти модуль суммы, надо сложить модули слагаемых;

3) сумма двух чисел, имеющих разные знаки, есть число, которое имеет тот же знак, что и слагаемое с большим модулем; чтобы найти модуль суммы, надо из большего модуля вычесть меньший.

Произведением двух действительных чисел называется число, которое удовлетворяет условиям:

1) произведение двух положительных чисел есть число положительное и находится по правилам, определенным в множестве положительных действительных чисел;

2) произведение двух отрицательных чисел есть число положительное; произведение двух чисел, имеющих разные знаки, есть число отрицательное: чтобы найти модуль произведения, надо перемножить модули этих чисел.

Вычитание и деление действительных чисел определяются как действия, обратные соответственно сложению и умножению. Вычитание в множестве действительных чисел выполняется всегда, так же как и деление, за исключением случая деления на нуль.