Теоретико-множественный смысл частного натуральных чисел

Деление целого неотрицательного числа на натуральное число связано с разбиением множества на классы.

Если а – число элементов множества А и множество А разбито на b попарно непересекающихся подмножеств, то частным чисел а и b называется число элементов каждого подмножества разбиения.

Если а – число элементов множества А и множество А разбито на попарно непересекающиеся подмножества, в каждом из которых b элементов, то частным чисел а и b  называется число подмножеств разбиения.

 Действие, при помощи которого находят частное, называется делением, число а – делимым, число b – делителем.

Познакомимся с некоторыми свойствами деления натуральных чисел.

Правило деления суммы на число. Если числа а и b делятся на число с, то и их сумма а +  b делится на с. Частное, получаемое при делении суммы   а + b на число с, равно сумме частных получаемых при делении а на с и  b на с, т.е. (а + b) : с = а : с + b : с.

Данное правило можно истолковать с точки зрения теоретико-множественного подхода. Если частные а : с и b : с существуют, то (а + b): с= а : с + b : с. Пусть n(A) = a, n(B) = b,причем АВ =. Если множества А и В разбить на равночисленные подмножества, состоящие из с элементов, то и объединение этих множеств допускает такое разбиение. Если при этом множество А состоит из а : с подмножеств, а множество В состоит из b : с подмножеств, то АВ состоит из а : с + b : с.  это значит, что (а + b) : с = а : с + b : с.

Рассмотрим данное правило на примере. Пусть  n(A) = 6, n(B) = 4, причем AB= : А = {z, x, c, v, b, n}, B = {a, s, d, f}. И пусть множества А и В можно разбить на равномощные подмножества, состоящие из 2 элементов каждое:  А = {z, х}, A = {c, v}, A = {b, n}, B  = {a, s}, B = {d, f}.

Значит, множество А можно разбить на 3 равномощных  подмножества, в каждом из которых по 2 элемента, а  множество В можно разбить на 2 таких подмножества и всего таких подмножеств будет 5. Т.е. 6 : 2 = 3, а 4 : 2 = 2  и 3 + 2 = 5.

Теперь найдем объединение множеств А и В:   АВ = {z, x, c, v, b, n, a, s, d, f} и разобьем его на равномощные подмножества, содержащие по 2 элемента: Х = {z, х},  Х = {c, v},  Х = {b, n},  Х= {a, s},  Х = {d, f}.

Таких подмножеств будет 5. Т.е. 6 + 4 = 10, 10 : 2 = 5.

Т.о., получаем (6 + 4) : 2 = 6 : 2 + 4 : 2.

Данное правило верно в том случае, если каждое слагаемое делится на число, то и сумма делится на это число. Если же сформулировать правило наоборот, т. е., если сумма делится на число и каждое слагаемое делится на число, то утверждение может оказаться неверным. Например, сумма чисел 5 и 3 делится на 2, но каждое слагаемое, т.е. 5 и 3, не делится на 2.

Аналогично проводятся рассуждения и для ниже перечисленных правил.

Правило деления числа на произведение. Если натуральное число а делится на натуральные числа b и с, то чтобы разделить а на произведение чисел b и с, достаточно разделить число а на b(c) и полученное частное разделить на с(b):   а : (b  c) = (a : b) : c = (a : c) : b.

Правило умножения числа на частное двух чисел. Чтобы умножить число на частное двух чисел, достаточно умножить это число на делимое и полученное произведение разделить на делитель, т.е. a  (b : c) = (a b): c.

Правило деления произведения на число. Чтобы разделить произведение нескольких целых неотрицательных  чисел на натуральное число, достаточно один из множителей разделить на это число и полученное частное умножить на оставшиеся множители, т.е., если а : n, то (abc) : n = (a : n) bc.

Дадим теоретико-множественное обоснование равенству     6 : 3 = 2.

Решение. Возьмем множество А, в котором 6 элементов, например  А = {a, b, c, d, e, f}. Разобьем множество А на 3 попарно непересекающихся равномощных множества, например А={a, b}, А= {c, d},  А= {e, f}.  В каждом  подмножестве  по 2 элемента: n(А) = n(А) = n(А) = 2.

Следовательно, 6 : 3 = 2.

Справедливость данного равенства можно объяснить и так. Возьмем данное нам множество А и разобьем его на подмножества, в каждом из которых по 3 элемента, например: А= {a, b, с}, А= {d, e, f}. Таких подмножеств в разбиении будет два. Следовательно, 6 : 3 = 2.

Теоретико-множественное истолкование можно дать и делению с остатком. Разделить натуральное число а на натуральное число b                   с остатком – это значит найти такие натуральные целые числа q и r, что      а = bq + r,  где  0  r < b.

Пусть а = n(A) и множество А разбито на множества A, A, …, A, R, так, что  множества A, A, …, A равномощны, а множество R содержит меньше элементов, чем каждое из множеств A, A, …, A. Тогда, если n(A), n(A), …,n( A) = b, а  n(R) = r, то a = bq + r, где             0  r < b. Причем число q равномощных множеств является неполным частным при делении а на b , а число элементов в R – остатком при этом делении.

Разделим  на 2 с остатком.

 Возьмем множество Х, состоящее из 7 элементов. Пусть Х = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Разобьем это множество на 2 равномощных подмножества, например  Х = {1, 2, 3}, X = {4, 5, 6}. В эти подмножества не вошел один элемент, он составит некоторое множество        R = {7}.

Тогда   n(Х) = n(X) = 3, n(R) = 1.  Согласно определению деления с остатком, получим: 7 : 2 = 3 (ост.1) или 7 = 23 + 1.  Наглядно это можно представить с помощью рис.12.

         Взаимосвязь деления натуральных чисел с разбиением конечных множеств на классы позволяет обосновать выбор действия деления при решении задач. Например,15 тетрадей раздали поровну 5 ученикам. Сколько тетрадей получил каждый? Объясните, почему данная задача решается при помощи деления.

Решение. Множество учеников А из 15 элементов разбивается на 5 равночисленных подмножеств. Требуется узнать число элементов в каждом таком подмножестве.

Пусть n(A) = 15, например, А = {z, x, c, v, b, a, s, d, f, g, q, w, e, r, t}. Разобьем множество А на 5 попарно непересекающихся равномощных подмножества: А = {z, x, c,}, A = {v, b, a}, A = {s, d, f},       A = {g, q, w}, A = {e, r, t}. В каждом таком подмножестве по 3 элемента: n(А) = n(A) = n(A) = n(A) = n(A) = 3. Данные действия соответствуют второму определению деления, значит, ответ на решение задачи можно найти делением: 15 : 5 = 3, и каждый ученик получил по 3 тетради.

Ответ: по 3 тетради.

Рассмотрим другую задачу. В коробке 12 карандашей. Их надо разложить в коробки, по 4 карандаша в каждую. Сколько коробок понадобится? Обоснуйте свой выбор действия при решении задачи.

Решение. Множество карандашей С из 12 элементов разбивается на подмножества, в каждом из которых по 4 элемента. Требуется найти количество таких подмножеств.

Пусть С = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. Разобьем это множество на непересекающиеся подмножества, в каждом из которых по 4 элемента: С = {1, 2, 3, 4}, C = {5, 6, 7, 8}, C = {9, 10, 11, 12}. Таких подмножеств получилось 3. Значит, согласно первому определению деления, задачу можно решить при помощи деления: 12 : 4 = 3.

Следовательно, чтобы разложить 12 карандашей по 4 карандаша в коробку, то понадобится 3 коробки.

Ответ: понадобится 3 коробки.

Задача. Вычислите различными способами: а) (690 + 23) : 23;              б) (3151030) : 15;   в) 225(75 : 15).

Решение. а) (690 + 23) : 23 = 713 : 23 = 31. Применим правило деления суммы на число: (690 + 23) : 23=690 : 23 + 23 : 23=30 + 1 = 31.

б) (3151030) : 15 = 94500 : 15 = 6300. Применим правило деления произведения на число: (3151030) : 15 = (315 : 15)1030 = 211030 = 630, (3151030) : 15 = (31510)(30 : 15) = 31502 = 6300.

в) 225(75 : 15) = 2255 = 1125. Применим правило умножения числа на частное двух чисел:  225(75 : 15) = (22575) : 15 = 16875 : 15 = 1125, 225(75 : 15) = (225 : 15)75 = 1575 = 1125.