По правилам построения аксиоматической теории определить умножение натуральных чисел можно, используя отношение «непосредственно следовать за» и понятия, введенные ранее.
Умножением натуральных чисел называется алгебраическая операция, обладающая свойствами:
1) ;
;
2) .
Будем считать, что 0 0 = 0.
Число называют произведением чисел а и b, а сами эти числа – множителями.
Теорема. Если умножение натуральных чисел существует, то оно единственно.
Доказательство. Допустим, что в множестве N существуют две операции умножения, обладающие свойствами 1 и 2. Одну из них обозначим знаком , а другую – знаком
.
Для этих операций имеем:
1) а 1 = а; 1) а
1= а;
2) а b
= а
b + а 2) a
b
= a
b + а.
Докажем, что (1)
Пусть число а выбрано произвольно, а b принимает различные натуральные значения. Обозначим через М множество всех тех и только тех чисел b, для которых равенство (1) истинно.
Нетрудно убедиться в том, что 1М. Действительно, из того, что а
1 = а = а
1 следует, что а
1 = а
1.
Докажем теперь, что если bM, то b
M, т.е. если а
b = а
b, то а
b
= a
b
. Так как а
b = а
b, то по аксиоме 2 а
b
= a
b + a; и а
b
= a
b +a. Тогда а
b
= a
b
. Поскольку множество М содержит 1 и вместе с каждым числом b содержит и число b
, то по аксиоме 4 множество М совпадает с N, а значит равенство (1) истинно для любого натурального числа b. Так как число а было выбрано произвольно, то равенство (1) верно при любых натуральных а и b, т.е. операции
и
на множестве N могут отличаться друг от друга только обозначениями.
Докажем существование умножения.
Доказательство. Покажем, что алгебраическая операция, обладающая свойствами 1 и 2, указанными в определении, существует.
Пусть М – множество тех и только тех чисел а, для которых можно определить а b так, чтобы выполнялись условия 1 и 2.
Покажем, что 1М. Для этого при любом b предположим 1
b = b (2). Тогда:
1) 1 1 = 1 - по правилу (2), т.е. выполняется равенство а
1 = а при а = 1.
2) 1 b
= 1
b + 1 = b + 1 - по правилу (2), т.е. выполняется равенство а
b
= a
b + a при а = 1.
Итак, 1 принадлежит множеству М.
Предположим, что а принадлежит М. Исходя из этого предположения, покажем, что и а содержится в М, т.е. что можно определить умножение а
и любого числа b так, чтобы выполнялись условия 1 и 2. Для этого положим:
а b =a
b + b.
Так как по предположению число а b определено, то по аксиоме 2, единственным образом определяется и число a
b + b . Проверим, что при этом выполняются условия 1 и 2:
1) а 1 = (а + 1)
1= a + 1 = а
, т.е. а
1 = а
;
2) а b
= a
b
+ b
= a
(b + 1) = (b + 1) = a
b + a + b + 1 = a
b + b + a + 1 =(a + 1)
b + (a + 1) = а
b + а
, т.е. а
b
= а
b + а
.
Итак, показали, что множество М содержит 1 и вместе с каждым число а содержит и число а. По аксиоме 4, заключаем, что множество М есть множество натуральных чисел.
Таким образом, существует правило, которое позволяет для любых натуральных чисел а и b однозначно найти такое натуральное число а b, что выполняются свойства 1 и 2, сформулированные в определении умножения.
Используя определение умножения, его существование и единственность, можно вывести таблицу умножения однозначных чисел.
Делаем это в такой последовательности: сначала рассматриваем умножение на 1, затем на 2, потом на 3 и т.д.
Легко видеть, что умножение на 1 выполняется по свойству 1 в определении умножения: 11 = 1; 2
1 = 2; 3
1 = 3 и т.д.
Рассмотрим теперь случаи умножения на 2:
12 = 1
1
= 1
1 + 1 = 1 + 1 = 2.
Аналогично:
2 2 = 2
1
= 2
1 + 2 = 2 + 2 = 4;
32 = 3
1
= 3
1 + 3 = 3 + 3 = 6.
Далее можно рассмотреть процесс умножения на 3:
13 = 1
2
= 1
2 + 1 =1
1
+ 1 = (1
1 + 1) + 1 = (1 + 1) +1 = 2 +1 = 3;
23 = 2
2
= 2
2 + 2 =2
1
+ 2 = (2
1 + 2) + 2 = (2 + 2) +2 = 4 +2 = 6.
Если продолжить этот процесс, получим всю таблицу умножения однозначных чисел.
Используя определение умножения, найдем значение выражения 34.
Решение. 34 = 3
3
= 3
3 + 3 = 3
2
+ 3 = (3
2 + 3) + 3 = (3
1
+ 3) +3 = ((3
1 + 3) + 3) + 3 = ((3 + 3) + 3) + 3 = (6 + 3) + 3 = 9 + 3 = 12.
Умножение натуральных чисел обладает следующими свойствами: оно коммутативно (a b = b
a), ассоциативно ((a
b)
c = a
(b
c)) и дистрибутивно относительно сложения (a + b)
c=a
c+b
c.
Докажем свойство дистрибутивности умножения относительно сложения.
Доказательство. Пусть натуральные числа a и b выбраны произвольно, а с принимает различные натуральные значения. Обозначим через М множество таких натуральных чисел с, для которых верно равенство (a + b) c = a
c + b
c.
Докажем, что 1М, т.е. что равенство (а + b)
1 = а
1 + b
1 истинно. Согласно свойству 1 из определения умножения имеем: (а + b)
1 = а + b = а
1 + b
1.
Докажем теперь, что если с М, то с
М, т.е. что из равенства (a + b)
c = a
c + b
c следует равенство (a + b)
с
= a
с
+ b
с
. По определению умножения, имеем: (a + b)
с
= (а + b)
c + (a + b) = (a
c + b
c) + (a + b) = [используя ассоциативное и коммутативное свойство сложения, выполним преобразования] = (a
c + b
с + a) + b = (a
c + а + b
c) + b = (a
c + а) + (b
c + b) = [по определению умножения] = a
с
+ b
с
.
Итак, мы показали, что множество М содержит 1, и из того, что оно содержит с, следует, что и с содержится в М. По аксиоме 4 получаем, что М = N. Это значит, что равенство (a + b)
c = a
c + b
c верно для любых натуральных чисел с, а также для любых произвольных а и b.