Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе

По правилам построения аксиоматической теории определить умножение натуральных чисел можно, используя отношение «непосредственно следовать за» и понятия, введенные ранее.

Умножением натуральных чисел называется алгебраическая операция, обладающая свойствами:

1) ; ;

2) .

Будем считать, что 0  0 = 0.

Число  называют произведением чисел а и b, а сами эти числа – множителями.

Теорема. Если умножение натуральных чисел существует, то оно единственно.

Доказательство. Допустим, что в множестве N существуют две операции умножения, обладающие свойствами 1 и 2. Одну из них обозначим знаком , а другую – знаком .

Для этих операций имеем:

1) а  1 = а;                                 1) а 1= а;

2) а  b= а  b  + а                     2) a  b= a  b + а.

Докажем, что   (1)

Пусть число а выбрано произвольно, а b принимает различные натуральные значения. Обозначим через М множество всех тех и только тех чисел b, для которых равенство (1) истинно.

Нетрудно убедиться в том, что 1М. Действительно, из того, что   а  1 = а = а 1 следует, что а 1 = а 1.

Докажем теперь, что если bM, то bM, т.е. если а  b = а b, то  а  b = a  b. Так как а  b = а b, то по аксиоме 2  а  b= ab + a; и  а  b= a  b +a. Тогда а  b = a  b. Поскольку множество М содержит 1 и вместе с каждым числом b содержит и число b, то по аксиоме 4 множество М совпадает с N, а значит равенство (1) истинно для любого натурального числа b. Так как число а было выбрано произвольно, то равенство (1) верно при любых натуральных а и b, т.е. операции  и  на множестве N могут отличаться друг от друга только обозначениями.

Докажем существование умножения.

Доказательство. Покажем, что алгебраическая операция, обладающая свойствами 1 и 2, указанными в определении, существует.

Пусть М – множество тех и только тех чисел а, для которых можно определить а  b так, чтобы выполнялись условия 1 и 2.

Покажем, что 1М. Для этого при любом b предположим 1  b = b (2). Тогда:

1) 1  1 = 1 -  по правилу (2), т.е. выполняется равенство а  1 = а  при   а = 1.

2) 1  b = 1  b + 1 = b + 1 - по правилу (2), т.е. выполняется равенство а  b = a  b + a  при а = 1.

Итак, 1 принадлежит множеству М.

Предположим, что а принадлежит М. Исходя из этого предположения, покажем, что и  а содержится в М, т.е. что можно определить умножение а и любого числа b так, чтобы выполнялись условия 1 и 2. Для этого положим:

а b =a  b + b.

Так как по предположению число а  b определено, то по аксиоме 2, единственным образом определяется и число a  b + b . Проверим, что при этом выполняются условия 1 и 2:

1)  а 1 = (а + 1)  1= a + 1 = а, т.е. а 1 = а;

2)  а b = a  b+ b= a  (b + 1) = (b + 1) = a  b + a + b + 1 =           a  b + b + a + 1  =(a + 1)  b + (a + 1) =  а b +  а,  т.е.                     а b= а b +  а.

Итак, показали, что множество М содержит 1 и вместе с каждым число а содержит и число а. По аксиоме 4, заключаем, что множество М есть множество натуральных чисел.

Таким образом, существует правило, которое позволяет для любых натуральных  чисел а и b однозначно найти такое натуральное число а  b, что выполняются свойства 1 и 2, сформулированные в определении умножения.

Используя определение умножения, его существование и единственность, можно вывести таблицу умножения однозначных чисел.

Делаем это в такой последовательности: сначала рассматриваем умножение на 1, затем на 2, потом на 3 и т.д.

Легко видеть, что умножение на 1 выполняется по свойству 1 в определении умножения: 11 = 1; 21 = 2; 31 = 3 и т.д.

Рассмотрим теперь случаи умножения на 2:

12 = 11= 11 + 1 = 1 + 1 = 2.

 Аналогично:

2 2 = 21= 21 + 2 = 2 + 2 = 4;

32 = 3 1= 31 + 3 = 3 + 3 = 6.

Далее можно рассмотреть процесс умножения на 3:

13 = 12 = 12 + 1 =11 + 1 = (11 + 1)  + 1 = (1 + 1) +1 = 2 +1 = 3;

23 = 22 = 22 + 2 =21 + 2 = (21 + 2)  + 2 = (2 + 2) +2 = 4 +2 = 6.

Если продолжить этот процесс, получим всю таблицу умножения однозначных чисел.

Используя определение умножения, найдем значение выражения  34.

Решение. 34 = 33= 33 + 3 = 32+ 3 = (3 2 + 3) + 3 = (31 + 3) +3 = ((31 + 3) + 3) + 3 = ((3 + 3) + 3) + 3 = (6 + 3) + 3 = 9 + 3 = 12.

Умножение натуральных чисел обладает следующими свойствами: оно коммутативно (a  b = b  a), ассоциативно  ((a  b) c = a  (b  c)) и дистрибутивно относительно сложения (a + b)  c=ac+bc.
         Докажем свойство дистрибутивности умножения относительно сложения.

Доказательство. Пусть натуральные числа a и b выбраны произвольно, а с принимает различные натуральные значения. Обозначим через М множество таких натуральных чисел с, для которых верно равенство (a + b)  c = a  c + b  c.

Докажем, что 1М, т.е. что  равенство (а + b)  1 = а  1 + b  1 истинно. Согласно свойству 1 из определения умножения имеем: (а + b) 1 = а + b = а   1 + b  1.

Докажем теперь, что если с М, то сМ, т.е. что из равенства             (a + b)  c = a  c + b  c   следует равенство   (a + b)  с= a  с + b  с. По определению умножения, имеем: (a + b)  с= (а + b)  c + (a + b) = (a  c + b  c) + (a + b) = [используя ассоциативное и коммутативное свойство сложения, выполним преобразования] = (a  c + b  с + a) + b = (a  c + а + b  c) + b = (a  c + а) + (b  c + b) = [по определению умножения] = a  с+ b  с.

Итак, мы показали, что множество М содержит 1, и из того, что оно содержит с, следует, что и с содержится в М. По аксиоме 4 получаем, что    М = N.  Это значит, что равенство (a + b)  c = a  c + b  c  верно для любых натуральных чисел с, а также для любых произвольных а и b.

Докажем коммутативность умножения.
Доказательство. Докажем, что для любого натурального числа а имеет место равенство а 1 = 1 а. Пусть М множество всех тех чисел а, для которых это равенство истинно. Так как 1 1 = 1 1 – истинное равенство, то 1 принадлежит множеству М.

Докажем теперь, что если а М, то а М, т.е. из равенства а 1 = 1 а следует равенство а 1 = 1 а . Действительно, а 1 = (а + 1) 1 = [дистрибутивность умножения] = а 1 + 1 1 = 1 а + 1 1 = 1 (а + 1) = 1 а .
Докажем теперь, что для любых натуральных чисел а и b верно равенство а b = b a. Пусть а – произвольное натуральное число, а b принимает различные натуральные значения. Обозначим через М множество всех тех чисел b, для которых равенство а b = b a истинно.

Так как при b = 1 получаем равенство а 1 = 1 а, истинность которого доказана, то 1 содержится в М.
Докажем, что если b принадлежит М, то и b принадлежит М, т.е. из равенства а b = b a следует равенство а b = b a. Действительно, а b = а (b +1) = a b + a = b a + a = (b + 1) a = b a.

Итак, мы доказали, что 1 содержится в М и вместе с каждым числом b множество содержит и число b , непосредственно следующее за b. По аксиоме 4 получаем, что М = N, т.е. равенство а b = b a истинно для любого натурального числа b, а также для любого произвольного числа а.

Аналогично можно доказать и ассоциативность умножения.
Задача. Найти значение выражения, используя свойства умножения: а) 125 15 6; б) (8 379) 125; в) 49 54 + 36 49 +90 51; г) 47 3.

Решение. а) 125 15 6 = [применим ассоциативность умножения] = 125 (15 6) = 125 90 = 11200;
б) (8 379) 125 = [применим ассоциативность умножения, что позволит нам расставить скобки, как нам необходимо, и коммутативность умножения, что позволит нам поменять множители местами] = (8 125) 379 = 1000 379 = 379000;
в) 49 54 + 36 49 + 90 51 = [применим ассоциативность для второго произведения] = 49 54 + 49 36 + 90 51 = [применим дистрибутивность относительно первого и второго слагаемого данной суммы] = 49 (54 + 36) + 90 51 = 49 90 + 90 51 = [применим ассоциативность для первого произведения] = 90 (49 + 51) = 90 100 = 900;
г) 47 3 = [представим первый множитель в виде суммы] = (40 + 7) 3 = [применим дистрибутивность] = 40 3 + 7 3 = 120 + 21 = 141 .