Вычитание целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе

При аксиоматическом построении теории целых неотрицательных чисел вычитание определяется как операция, обратная сложению.

Разностью целых неотрицательных чисел а и b называется такое натуральное число с, что а = с + b. Это число обозначают а – b. Число а называют уменьшаемым, b – вычитаемым.

Разность целых неотрицательных чисел a и b существует, если b  a  и она единственна.

Будем считать, что 0 – 0 = 0 и а – а = 0.

Теорема. Если разность целых неотрицательных чисел существует, если ba.

Доказательство. Пусть а = b. Тогда а – b = 0, и следовательно, разность существует. Если b < a, то по определению отношения «меньше» существует натуральное число с такое, что a = b + c. Тогда по определению разности с = а – b, т.е. разность существует и b + c = a. Если с = 0, то а = b; если с > 0, то b < a по определению отношения «меньше». Итак, b  a.

Теорема. Если разность натуральных чисел a и b существует, то она единственна.

Доказательство. Предположим, что существует  два различных значения разности чисел а и b: a – b = c  и  a – b = c. Тогда, по определению разности, имеем: a = b + c и  a = b + c. Отсюда следует, что  b + c = b + c и значит  c = c. Мы пришли к противоречию с нашим предположением. Следовательно, значение разности чисел a и b единственно.

Дистрибутивность умножения относительно вычитания: при b < a и при любых натуральных с верно равенство (a - b)  c = a  c - b  c.

Докажем, что при b < a и при любых натуральных с верно равенство (a - b)  c = a  c - b  c.

Доказательство. Пусть натуральные числа a и b выбраны произвольно, а с принимает различные натуральные значения. Обозначим через М множество таких натуральных чисел с, для которых верно равенство  (a - b)  c = a  c - b  c.

Докажем, что 1М, т.е. что  равенство (а - b)  1 = а  1 - b  1 истинно. Согласно свойству 1 из определения умножения имеем: (а - b) 1 = а - b =  а   1 - b  1.

Докажем теперь, что если с М, то сМ, т.е. что из равенства (a - b)  c = a  c - b  c   следует равенство   (a - b)  с= a  с - b  с.

По определению умножения, имеем: (a - b)  с=(а - b)  (c + 1) = (а - b)  c - (a - b)  1 =  (a  c - b  c) + (a - b)  = (a  c - b  с + a) - b =(a  c + а) - ( b  c + b) =a  (c + 1) – b (c + 1)  = a  с- b  с.

Итак, мы показали, что множество М содержит 1, и из того, что оно содержит с, следует, что и с содержится в М. По аксиоме 4 получаем, что    М = N.  Это значит, что равенство (a - b)  c = a  c - b  c  верно для любых натуральных чисел с, а также для любых произвольных а и b.

Правило вычитания числа из суммы: при а  с имеем, что (a + b) - c = (a - c) + b; при bc имеем, что (a + b) - c = a + (b - c); при ac и bc можно использовать любую из данных формул.

Докажем, что если а  с, то (a + b) - c = (a - c) + b. Доказательство. В первом случае разность существует, т.к. a > c. Обозначим ее через х:  а – с = х, откуда  а = с + х. Если (a + b) – c = y, то по определению разности a + b = c + y. Подставим в это равенство вместо а выражение с + х: (с + х) + b = с + y. Воспользуемся свойством ассоциативности сложения:  с + (х + b) = с + y. Преобразуем это равенство:   x + b = y . Заменив в данном равенстве х на выражение а – с, будем иметь     (а – c) + b = y.

Таким образом, мы доказали: если а  с, то (a + b) – c =  (a - c) + b.

Правило вычитания суммы из числа: при условии, что a  b +c, имеем а – (b + c) = (a – b) – c.

Правило вычитания разности из числа: при a > b, имеем а – (b – c) = (a + c) – b = (a – b) +c.

Правило вычитания числа из разности: при a > b, имеем (а – b) –  c = a – (b + c).

В начальном обучении математике определение вычитания как действия, обратного сложению, в общем виде, как правило, не дается, но им постоянно пользуются, начиная с выполнения действий над однозначными числами. Различные правила вычитания являются теоретической основой различных приемов вычислений.

Например, (40 + 16) – 10 = (40 – 10) + 16 = 30 + 16 = 46 или (40 + 16) – 10 = 40 + (16 – 10) = 40 + 6 = 46.