Деление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числам

При аксиоматическом построении теории целых неотрицательных чисел деление обычно определяется как операция, обратная умножению.

Делением натуральных чисел а и b называется операция, удовлетворяющая условию: а :  b = с тогда и только тогда, когда b  c = а.

Число а : b называется частным чисел а и b, число а – делимым, число b – делителем.

Теорема. Частное двух чисел существует и оно единственно.

Докажем, что, для того, чтобы частное двух натуральных чисел а и b существовало, необходимо, чтобы b  a.

Доказательство. Пусть частное двух натуральных чисел а и b существует, т.е. есть такое натуральное число с, что bc = a.

Так как для любого натурального числа 1 справедливо неравенство 1  с, то умножив обе его части на натуральное число b, получим b  bс. Но   bc = a,  следовательно, b  a.

Докажем, что если частное двух натуральных чисел а и b существует, то оно единственно.

Доказательство. Предположим, что существует  два различных значения частного чисел а и b: a : b = c  и  a : b = c. Тогда, по определению разности, имеем: a = b  c и  a = b  c. Отсюда следует, что  b  c = b  c и значит  c = c. Мы пришли к противоречию с нашим предположением. Следовательно, значение частного чисел a и b единственно.

Пусть даны целое неотрицательное число а и b = 0. Рассмотрим случай, когда а 0. Предположим, что частное такого числа и нуля существует. Тогда, по определению деления, имеем а = с  0, откуда а = 0. Пришли к противоречию. Значит, частное чисел а 0 и b = 0 не существует.

Пусть а = 0. Предположим, что частное чисел а = 0 и b = 0 существует. Тогда найдется целое неотрицательное число с, что 0 = с  0. Т.о., частным чисел а = 0 и b = 0 может быть любое число, т.е. результат деления определяется не единственным образом.  В математике считают, что деление нуля на нуль невозможно.

Исходя из определения частного натуральных чисел и условия его существования, можно обосновать известные правила деления суммы, разности, произведения на число.

Правило деления суммы на число. Для того чтобы разделить сумму на число, достаточно разделить на это число каждое слагаемое и полученные результаты сложить. Пусть числа а и b делятся на число с, то и их сумма а +  b делится на с, т.е. (а + b) : с = а : с + b : с.

Докажем, что если числа а и b делятся на число с, то и их сумма а +  b делится на с. Частное, получаемое при делении суммы   а + b на число с, равно сумме частных получаемых при делении а на с и b на с, т.е.   (а + b) : с = а : с + b : с.

Доказательство. Так как число а делится на число с, то существует натуральное число х = а : с, что а = сх. Аналогично существует натуральное число y = b : c, что b = cy. Но тогда а + b = cx + cy = c (x + y). Это значит, что сумма а + b делится на число с, причем частное при делении суммы а + b на число с равно x + y, т.е. (а + b) : с = а : с + b : с.

Правило деления разности на число. Для того чтобы разделить разность на число, достаточно разделить это число на  уменьшаемое и вычитаемое и из первого частного вычесть второе. Пусть числа а и b делятся на число с, то и их сумма а –  b делится на с, т.е. (а – b) : с = а : с – b : с.

Правило деления числа на произведение. Для того чтобы разделить число на произведение, достаточно это число разделить на один множитель, а затем  полученное частное разделить на другой множитель. Пусть натуральное число а делится на натуральные числа b и с, то а : (b  c) =        (a : b) : c = (a : c) : b.

Правило умножения числа на частное двух чисел. Чтобы умножить число на частное двух чисел, достаточно умножить это число на делимое и полученное произведение разделить на делитель, т.е. a  (b : c) = (a b): c.

Правило деления произведения на число. 1.Если натуральное число а делится на натуральное число с, то для любого натурального числа b произведение аb делится на с. При этом частное, получаемое при делении произведения аb на число с, равно произведению частного, получаемого при делении а на с, и числа b :  (аb) : с = (а : с) b.

Доказательство. Так как число а делится на число с, то существует натуральное число х = а : с, что а = сх. Умножив обе части этого равенства на b, получим аb = (cx) b. Поскольку умножение ассоциативно, то (cx) b = c(x b). Отсюда (аb) : с = (а : с) b.

2. Чтобы разделить произведение нескольких целых неотрицательных  чисел на натуральное число, достаточно один из множителей разделить на это число и полученное частное умножить на оставшиеся множители, т.е., если а : n, то (abc) : n = (a : n) bc

Найдите значение выражения рациональным способом:

а) (7  63) : 7;  б) (3  4  5) : 15;  в) (15  18) : (5  6);  г) (12  21) : 14.

Решение. а) (7  63) : 7 = [правило деления произведения на число] = (7 : 7)  63 = 1  63 = 63;

б) (3  4  5) : 15 = [коммутативность и ассоциативность умножения] = ((3  5)  4) : 15 = (15  4) : 15 = [правило деления произведения на число] = (15 : 15)  4 = 1  4 = 4;

 в) (15  18) : (5  6) = [правило деления числа на произведение] = ((15  18) : 5) : 6 = [правило деления произведения на число] =                     ((15 : 5)  18) : 6 = (3   18) : 6 = [правило деления произведения на число] = (18 : 6)  3 =  3   3 = 9;

 г) (12  21) : 14 = (12  21) : (2  7) = [правило деления числа на произведение] = ((12  21) : 2) : 7 = [правило деления произведения на число] =  ((12 : 2)   21) : 7 = (6  21) : 7 = [правило деления произведения на число] = (21 : 7)  6 = 3  6 = 18.

         Рассматривая деление на множестве целых неотрицательных чисел, мы имеем в виду деление нацело, т.е. при котором частное является также целым неотрицательным числом. Но такое частное существует не всегда. Например, нельзя разделить на 7 число 29. Но существуют числа 4 и 1 такие, что 29 = 74 + 1. Говорят, что мы разделили число 29 на 7 с остатком 1, а число 4 называют неполным частным.

Разделить натуральное число а на натуральное число b с остатком – это значит найти такие натуральные целые числа q и r, что а = bq + r,  где  0  r < b.

Из этого определения следует, что делить с остатком можно не только большее число на меньшее, но и меньшее на большее. Например, при делении числа 6 на 9 получаем неполное частное, равное  0, а остаток равен 6: 6 = 9 0 + 6. Вообще, если a < b, то при делении числа а на b с остатком получаем q = 0 и r = а.

Теорема. Каковы бы ни были целое число a и целое число  b ≠ 0, всегда возможно, и притом, единственным способом, разделить a на b c  остатком.

Доказательство: Пусть a ≥ 0, b ≥ 0. Докажем возможность деления с остатком. Рассмотрим множество всех натуральных чисел, которые делятся на b, расположив  их в порядке возрастания  b