В основе алгоритма вычитания многозначного числа из многозначного лежат следующие теоретические факты:
· способ записи числа в десятичной системе счисления;
· правила вычитания числа из суммы и суммы из числа;
· свойство дистрибутивности умножения относительно вычитания;
· таблица сложения однозначных чисел.
Задача 5. Проиллюстрировать теоретические основы алгоритма вычитания, вычислив разности: а) 586 – 342; б) 850 – 437.
Решение. а) Рассмотрим разность чисел 586 и 342. Воспользуемся правилом записи чисел в десятичной системе счисления и представим данную разность в таком виде: 586–342 = (5·102 + 8·10 + 6)–(3·102 + + 4·10 + 2).
Чтобы вычесть из числа 5·102 + 8·10 + 6 сумму 3·102 + 4·10 + 2, достаточно вычесть из него каждое слагаемое этой суммы одно за другим, и тогда: (5·102 + 8·10 + 6) – (3·102 + 4·10 + 2) = (5·102 + 8·10 + 6) –
– 3·102 – 4·10 – 2.
Чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть его из какого-нибудь одного слагаемого (большего или равного этому числу). Поэтому число 3·102 вычитаем из слагаемого 5·102, число 4·10 – из слагаемого 8·10, а число 2 – из слагаемого 6, тогда:
(5·102 + 8·10 + 6) – 3·102 – 4·10 – 2 = (5·102 – 3·102) + (8·10 – 4·10) + (6 – 2).
Воспользуемся дистрибутивностью умножения относительно вычитания и вынесем за скобки 102 и 10. Тогда выражение будет иметь вид: (5 – 3)·102 + (8 – 4)·10 + (6 – 2). Видим, что вычитание трехзначного числа 342 из трехзначного числа 586 свелось к вычитанию однозначных чисел, изображенных цифрами соответствующих разрядов в записи заданных трехзначных чисел. Разности 5 – 3, 8 – 4 и 6 – 2 находим по таблице сложения и получаем выражение: 2·102 + 4·10 + 4, которое является записью числа 244 в десятичной системе счисления. Таким образом, 586 – 342 = 244.
б) Рассмотрим разность 850 – 437. Воспользуемся правилом записи чисел в десятичной системе счисления и представим эту разность в таком виде: 850 – 437 = (8·102 + 5·10 + 0)–(4·102 + 3·10 + 7). Поскольку из числа 0 нельзя вычесть 7, то выполнить вычитание аналогичное тому, как было сделано в первом случае, невозможно. Поэтому возьмем из числа 850 один десяток и представим его в виде 10 единиц – десятичная система счисления позволяет это сделать – тогда будем иметь выражение:
(8·102 + 4·10 + 10) – (4·102 + 3·10 + 7).
Если теперь воспользоваться правилами вычитания суммы из числа и числа из суммы, а также дистрибутивностью умножения относительно вычитания, то получим выражение (8 – 4)·102 + (4 – 3)·10 + (10 –7) или 4·102 + 1·10 + 3. Последняя сумма есть запись числа 413 в десятичной системе счисления. Значит, 850 – 437 = 413.
Разность многозначных чисел обычно находят выполняя вычитание столбиком.
В общем виде алгоритм вычитания многозначных чисел, записанных в десятичной системе счисления, формулируется так:
В следующем разряде повторяем описанный процесс.
Вычитание заканчивается, когда производится вычитание из старшего разряда уменьшаемого.
Упражнения для самостоятельной работы
1. Проиллюстрируйте теоретические основы алгоритма вычитания, вычислив разности: a) 578 – 345; б) 646 – 207.
2. Выполните вычитание, объясняя каждый шаг алгоритма:
а) 84072 – 63894; б) 940235 – 32849;
в) 935204 – 326435; г) 653481 – 233694.
3. Вычислите значение выражений, используя правила вычитания суммы из числа и числа и суммы: а) 2362 – (839 + 1362); б) (1241 + 576) – 841.
4. Вычислите значение выражения, используя правило прибавления к числу разности: а) 6420 + (3580 – 1736); б) 5480 + (6290 – 3480).
5. Вычислите значение выражения, используя правило вычитания разности из числа: а) 3720 – (1742 – 2678); б) 2354 – (965 – 1246).
6. Вычислите значение выражения, используя правило вычитания числа из разности: а) (4317 – 1928) – 317; б) (5243 – 1354) – 1643.