Отношение делимости и его свойства

Пусть даны натуральные числа a и b. Говорят, что число  a делится на число b, если существует такое натуральное число q, что a = b·q.

В этом случае число b называют делителем числа a, а число a – кратным числа b. 

Например, 27 делится на 9, так как существует такое q = 3, что 27 = 9·3. Можно сказать иначе: 9 – это делитель числа 27, а 27 есть кратное числа 9.

В том случае, когда a делится на b, пишут . Эту запись часто читают и так: «a кратно b».

Из определения отношения делимости и равенства a = 1·a, справедливого для любого натурального числа a, вытекает, что 1 является делителем любого натурального числа.

Отношение делимости на множестве N обладает рядом свойств, в частности, оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно.

Задача 16. Пользуясь определением отношения делимости, доказать, что если  и , то .

Решение. Так как , то существует такое натуральное число q, что a = b·q, а так как , то существует такое натуральное число p, что b = c·p. Но тогда имеем: a = b·q = (c·p)·q = c·(p·q). Число p·q – натуральное. Значит, по определению отношения делимости, .

Задача 17. Известно, что при делении на 3 числа a и b дают в остатке соответственно 1 и 2. Доказать, что сумма чисел a и b делится на 3.

Решение. Данные числа a и b имеют вид: a = 3q + 1, b = 3p + 2. Найдем их сумму: a + b = (3q + 1) + (3p + 2) = 3q + 3p + 3 = 3·(q + p + 1). Так как q + p + 1 есть натуральное число, то сумма a+b оказалась представленной в виде произведения числа 3 и некоторого натурального числа. Отсюда, согласно определению отношения делимости, сумма данных чисел a и b делится на 3.

Задача 18. Известно, что число 24 – делитель числа 96, а число 96 – делитель числа 672. Докажите, что число 24 –  делитель числа 672, не выполняя деления.

Решение. Так как и , то по свойству транзитивности , т.е. число 24 является делителем числа 672.

Упражнения для самостоятельной работы

1. Известно, что при делении на 5 числа a и b дают в остатке соответственно 2 и 3. Доказать, что сумма чисел a и b делится на 5.

2. Известно, что число 37 – делитель числа 148, а число 148 – делитель числа 592. Докажите, что число 37, делитель числа 592, не выполняя деления.

3. Постройте граф отношения «быть делителем данного числа», заданного на множестве X = {2, 6, 12, 18, 24}. Как отражены на этом графе свойства данного отношения?

4. Докажите, что: а) сумма двух четных чисел есть число четное; б) сумма двух нечетных чисел есть число четное; в) сумма четного числа и нечетного есть число нечетное.