Алгоритм деления

Деление чисел рассматривают как действие деления с остатком: разделить целое неотрицательное число a на натуральное число b – это значит найти такие целые неотрицательные числа q и r, что            a = b·q+ r, причем 0 ≤ r < b.

Если на однозначное число делят однозначное или двузначное (не превышающее 89), то используется таблица умножения однозначных чисел. Например, частным чисел 56 и 8 будет число 7, так как    8·7 = 56. Если же  надо разделить 52 на 8, то находят ближайшее к нему меньшее число, которое делится на 8 – это будет число 48, и, следовательно, неполным частным при делении 52 на 8 будет число 6. Чтобы найти остаток, надо из 52 вычесть 48: 52 – 48 = 4. Таким образом, 52 = 8·6 + 4, т.е. при делении 52 на 8 получается неполное частное 6 и остаток, равный 4.

Задача 8. Проиллюстрировать теоретические основы деления трехзначного числа 377 на однозначное число 4.

Решение.  Разделить 377 на 4 – это значит найти такое неполное частное q и остаток r, что 377 = 4q + r, причем остаток r должен удовлетворять условию 0 ≤ r < b, а неполное частное q – условию               4 q ≤ 377 < 4·(q + 1).

Определим, сколько цифр будет содержаться в записи числа q. Однозначным число q быть не может, так как тогда произведение     4q может быть максимально равно 36 и, значит, не будут выполняться условия, сформулированные выше для r и q. Если число q двузначное, т.е. если 10 < q < 100, то тогда 40 < 4q < 400 и, следовательно,             40 < 377 < 400, что верно. Значит, частное чисел 377 и 4 – число двузначное.

Чтобы найти цифру десятков частного, умножим последовательно делитель 4 на 20, 30, 40 и т.д. Поскольку 4·90 = 360, а 4·100 = 400, и 360 < 377 < 400, то неполное частное заключено между числами 90 и 100, т.е. q = 90 + q0. Но тогда должны выполняться неравенства:

4·(90 + q0) ≤ 377 < 360 + 4·(90 + q0 + 1), откуда

360 + 4q0  ≤ 377 < 360 + 4·( q0 + 1) и 4q0  ≤ 17 < 4·(q0 + 1).

Число q0 (цифра единиц частного), удовлетворяющее последнему неравенству, можно найти подбором, воспользовавшись таблицей умножения. Получаем, что q0 = 4 и, следовательно, неполное частное   q = 90 + 4 = 94. Остаток находится вычитанием: 377 – 4·94 = 1.

Итак, при делении числа 377 на 4 получается неполное частное 94 и остаток 1: 377=4·94+1.

Задача 9. Проиллюстрировать теоретические основы деления многозначного числа 4316 на многозначное число 52.

Решение. Разделить 4316 на 52 – это значит найти такие целые неотрицательные числа q и r, что 4316 = 52 q + r, 0 ≤ r < 52, а неполное частное должно удовлетворять неравенству 52q ≤ 4316 < 52(q + 1).

Определим число цифр в частном q. Очевидно, частное заключено между числами 10 и 100 (т.е. q – двузначное число), так как      520 < 4316 < 5200. Чтобы найти цифру десятков частного, умножим последовательно делитель 52 на 20, 30, 40, 50 и т.д. Поскольку        52·80 = 4160, а 52·90 = 4680 и 4160 < 4316 < 4680, то неполное частное заключено между числами 80 и 90, т.е. q = 80 + q0. Но тогда должны выполняться неравенства:

52·(80 + q0) ≤ 4316 < 52·(80 + q0 + 1),

4160 + 52 q0  ≤ 4316 < 4160 + 52·(q0+ 1),

52 q0  ≤ 153 < 52·(q0 + 1).

Число q0 (цифру единиц частного), удовлетворяющее последнему неравенству, можно найти подбором: 156 = 52·3, т.е. имеем случай, когда остаток равен 0. Следовательно, при делении 4316 на 52 получается частное 83.

Приведенные рассуждения лежат в основе деления уголком:

Обобщением различных случаев деления целого неотрицательного числа а на натуральное число b является следующий алгоритм деления уголком.

1. Если а = b, то частное q = 1, остаток r = 0.

2. Если а > b и число разрядов в числах a и b одинаково, то частное q находим перебором, последовательно умножая b на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, так как а < 10b. Этот перебор можно ускорить, выполнив деление с остатком цифр старших разрядов чисел а и b.

3. Если а > b и число разрядов в числе а больше, чем в числе b, то записываем делимое а и справа от него делитель b, который отделяем от а уголком и ведем поиск частного и остатка в такой последовательности:

а) выделяем в числе а столько старших разрядов, сколько разрядов в числе b или, если необходимо, на один разряд больше, но так, чтобы они образовывали число d1 больше или равное b. Перебором находим частное q1 чисел d1 и b, последовательно умножая b на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Записываем q1 под уголком (ниже b);

б) умножаем b на q1 и записываем произведение под числом а так, чтобы младший разряд числа bq1 был написан под младшим разрядом выделенного числа d1;

в) проводим черту под bq1 и находим разность r1 = d1 – bq1;

г) записываем разность r1 под числом bq1, приписываем справа к r1 старший разряд из неиспользованных разрядов делимого а и сравниваем полученное число d2 с числом b.

д) если полученное число d2 больше или равно b, то относительно него поступаем согласно п. 1 или п. 2. Частное q2 записываем после q1;

е) если полученное число d2 меньше b, то приписываем еще столько следующих разрядов, сколько необходимо, чтобы получить первое число d3, большее или равное b. В этом случае записываем после q1 такое же число нулей. Затем относительно d3 поступаем согласно пункты 1, 2. Частное q2 записываем после нулей. Если при использовании младшего разряда числа а окажется, что d3 < b, то тогда частное чисел d3 и b равно нулю, и этот нуль записывается последним разрядом к частному, а остаток r = d3.

Упражнения для самостоятельной работы

1. Не выполняя деления, определите число цифр частного чисел:

а) 475 и 7;   б) 6134 и 226;   в) 5683 и 25;   г) 43127 и 536.

2. Проиллюстрируйте теоретические основы деления трехзначного числа 868 на однозначное число 3.

3. Найдите двумя способами значение выражения:

а) (297 + 405 + 567):27;    в) 56·(378:14);

б) (240·23):48;                    г) 15120:(14·5·8).

4. Найдите значение выражения:

а) 8919:9 + 114240:21;   б) 1190 – 35360 : 34 + 271;  в) 8631 – (99 + 44352:63);          

г) 48600·(5045 – 2040) : 243 – (8604 3 :43 + 504)·200.