Запись чисел в десятичной системе счисления

Десятичной записью натурального числа x называется его представление в виде: , где коэффициенты an, an-1, …, a1, a0 принимают значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и

Сумму  в краткой форме принято записывать так: .

Так как понятие числа и его записи нетождественны, то существование и единственность десятичной записи натуральной записи надо доказывать.

Десятичная запись числа позволяет просто решать вопрос о том, какое из них меньше.

Пусть х и у – натуральные числа, запись которых дана в десятичной системе счисления:

,

.

Тогда число х меньше числа у, если выполнено одно из условий:

а) n<m;  б) n = m, но an<bn;  в) n = m, an= bn, …, ak = bk, но        ak-1<bk-1.

Например, если х = 345, а у = 4678, то х<y,  так как первое число трехзначное, а второе – четырехзначное. Если х = 345, а у = 467, то x<y, так как в первом из двух значений трехзначных чисел меньше сотен. Если х = 3456, а у = 3467, то x<y, так как, несмотря на то что в каждом из четырехзначных чисел число тысяч и сотен одинаковое, десятков в числе х меньше, чем в числе у.

Если натуральное число х представлено в виде , то числа 1, 10, 102, …, 10n называют разрядными единицами соответственно первого, второго, …, n+1 разряда, причем 10 единиц одного разряда составляют одну единицу следующего высшего разряда, т.е. отношение соседних разрядов равно 10 – основанию системы счисления.

Три первых разряда в записи числа соединяют одну группу и называют первым классом, или классом единиц. В первый класс входят единицы, десятки и сотни.

Четвертый, пятый и шестой разряды в записи числа образуют второй класс – класс тысяч.

Затем следует третий класс – класс миллионов, состоящий тоже из трех разрядов: седьмого, восьмого и девятого, т.е. из единиц миллионов, десятков миллионов и сотен миллионов.

Последующие три разряда также образуют новый класс и т.д. выделение классов единиц, тысяч, миллионов и т.д. создает удобства для записи и прочтения чисел.

Задача 2.  Запишите числа 4836, 2250, 10344 в виде суммы разрядных слагаемых.

Решение. ,

,

Задача 3.  Какие числа представлены следующими суммами:

         а)  б)     в)

Решение.  а)    б)  

в)

Упражнения для самостоятельной работы

1. Запишите числа в виде суммы разрядных слагаемых:

            а) 5635;           б) 3307;          в) 10041.

2. Какие числа представлены следующими суммами:

            а)                                  б) 

            в)                       г)

3. Напишите четырехзначное и десятизначное числа, в которых все цифры различны.

4. Сумма цифр двузначного числа равна 9, причем цифра десятков вдвое больше цифры единиц. Найдите это число.

5. Каждая цифра шестизначного числа на единицу больше предыдущей, а сумма его цифр равна 30. Какое это число?