Алгоритм сложения

В основе алгоритма сложения многозначных чисел лежат следующие теоретические факты:

• способ записи чисел в десятичной системе счисления;
  

• свойства коммутативности и ассоциативности сложения;
  

• дистрибутивность умножения относительно сложения;
  

• таблица сложения однозначных чисел.
  

Задача 4. Проиллюстрировать теоретические основы алгоритма сложения, вычислив суммы:

а) 532 + 8347;     б) 637 + 548.

Решение. а) Представим слагаемые 532 и 8347 в виде суммы степеней десяти с коэффициентами:

Раскроем скобки в полученном выражении, поменяем местами и сгруппируем слагаемые так, чтобы единицы оказались рядом с единицами, десятки с десятками и т.д. Все эти преобразования можно выполнить на основании соответствующих свойств сложения. Свойство ассоциативности разрешает записать выражение без скобок:

На основании свойства коммутативности поменяем местами слагаемые: . Согласно   свойству ассоциативности произведем группировку:  . Вынесем за скобки в первой выделенной группе число 102, а во второй – 10. Это можно сделать в соответствии со свойством дистрибутивности умножения относительно сложения: .

Итак, сложение данных чисел свелось к сложению однозначных чисел, изображенных цифрами соответствующих разрядов. Эти суммы находим по таблице сложения: . Полученное выражение есть десятичная запись числа 8879.

б) Представим слагаемые в виде суммы степеней десяти с соответствующими коэффициентами:

Воспользуемся свойствами сложения и дистрибутивностью умножения относительно сложения и преобразуем полученное выражение к такому виду: . Видим, что в этом случае сложение данных чисел также свелось к сложению однозначных чисел, но суммы 6+5 и 7+8 превышают 10 и поэтому последнее выражение не является десятичной записью числа. Необходимо сделать так, чтобы коэффициенты перед степенями числа 10 оказались меньше 10. Для этого выполним ряд преобразований. Сначала сумму 7+8 представим в виде 1·10 + 5:  (6 + 5)·102 + (3 + 4)·10 + (1·10 + 5).

Затем воспользуемся свойствами сложения и умножения и приведем полученное выражение к виду: (6 + 5)·102 + (3 + 4 + 1)·10 + 5. Суть последнего преобразования такова: десяток, который получился при сложении единиц, прибавим к десяткам данных чисел. И наконец, записав сумму 6 + 5 в виде 1·10 + 1, получаем (1·10 + 1)·102 + 8·10 + 5 = = 103 + 102 + 8·10 + 5. Последнее выражение есть десятичная запись числа 1185. Следовательно, 637 + 548 = 1185.

Сумму многозначных чисел находят, выполняя сложение столбиком.

В общем виде алгоритм сложения натуральных чисел, записанных в десятичной системе счисления, формулируют так:

• Записывают второе слагаемое под первым так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом.
  

• Складывают единицы первого разряда. Если сумма меньше десяти, записывают ее в разряд единиц ответа и переходят к следующему разряду (десятков).
  

• Если сумма единиц больше или равна десяти, то представляют ее в виде a0 + b0 = 10 + c0, где c0  – однозначное число; записывают c0 в разряд единиц ответа и прибавляют 1 к десяткам первого слагаемого, после чего переходят к разряду десятков.
  

• Повторяют те же действия с десятками, потом с сотнями и т.д. Процесс заканчивается, когда оказываются сложенными цифры старших разрядов. При этом, если их сумма больше или равна десяти, то приписываем впереди обоих слагаемых нули, увеличиваем нуль перед первым слагаемым на 1 и выполняем сложение 1 + 0 = 1.
  

Заметим, что в этом алгоритме (как и в некоторых других) для краткости употребляется термин «цифра» вместо «однозначное число, изображаемое цифрой».

Упражнения для самостоятельной работы

1. Проиллюстрируйте теоретические основы алгоритма сложения, вычислив суммы: а) 657 + 342; б) 758 + 437.

2. Вычислите рациональным способом значение выражения; используемый прием обоснуйте: а) 2746 + 7254 + 9876;  б) 7238 + 8979 + 2762;  в) (4729 + 8473) + 5271; г) 4232 + 7419 + 5768+2591;  д) (357 + 768 + 589) + (332 + 211 + 643).