Вход или регистрация

Положительные рациональные числа

Положительным рациональным числом называется класс равных дробей, а каждая дробь, принадлежащая этому классу, есть запись (представление) этого числа.

Например, о дроби мы должны говорить, что она является записью некоторого рационального числа. Однако часто для краткости говорят: – это рациональное число.

Множество всех положительных рациональных чисел принято обозначать символом Q+. Определим на этом множестве отношение равенства.

Если положительное рациональное число а представлено дробью , а положительное рациональное число b – другой дробью , то а=b тогда и только тогда, когда mq=np.

Из данного определения следует, что равные рациональные числа представляются равными дробями.

Задача 48. Рациональное число представлено дробью . Может ли оно быть представлено дробью ?

Решение. Может, так как 15 × 147 = 21 × 105 = 2205, т.е. .

Если положительное рациональное число а представлено дробью , а положительное рациональное число b – дробью , то их суммой называется число a + b, которое представляется дробью .

Таким образом, по определению, .

В определении суммы рациональных чисел использованы их представления в виде дробей с одинаковыми знаменателями. Если же числа а и b представлены дробями с различными знаменателями, то сначала надо привести их к одному знаменателю, а затем применить указанное выше правило.

Сложение положительных рациональных чисел коммутативно и ассоциативно.

Задача 49. Доказать коммутативность сложения a + b = b + a.

Решение. Представим а и b дробями и . Тогда сумма a + b представляется дробью , а сумма b + a – дробью . Так как m, p, n – натуральные числа, то m + p = p + m и, следовательно, a + b = b + a.

Задача 50. Выполнить сложение: а) ; б) .

Решение. а) ; б) .

Определение сложения положительных рациональных чисел дает возможность определить отношение «меньше» на множестве Q+.

Пусть а и b – положительные рациональные числа. Считают, что число b меньше числа а, если существует такое положительное рациональное число с, что а = b + c.

В этом же случае считают, что число а больше числа b. Пишут b < a, a > b.

Если рациональные числа a и b представлены дробями и (т.е. дробями, имеющими одинаковые знаменатели), то a < b в том и только в том случае, когда m < p.

Если рациональные числа а и b представлены дробями и (т.е. дробями, имеющими разные знаменатели), то a < b в том и только в том случае, когда mq < np.

Задача 51. Сравнить числа: а) и ; б) и .

Решение. а) < , так как 5 < 7; б) > , так как 2 × 5 > 3 × 3.

Вычитание положительных рациональных чисел определяется как операция, обратная сложению, т.е. это такая операция, которая удовлетворяет условию: a – b = c тогда и только тогда, когда a = b + c.

Разность a – b положительных рациональных чисел существует тогда и только тогда, когда b < a. Если разность a – b существует, то она единственна.

Используя определение и условие существования разности, можно получить правило вычитания положительных рациональных чисел, представленных дробями и , где m < p: .

Задача 52. Найти разность чисел: а) ; б) .

Решение. а) ; б) .

Если положительное число а представлено дробью , а положительное рациональное число b – дробь , то их произведением называется число ab, которое представляется дробью .

Таким образом, по определению, .

Умножение положительных рациональных чисел коммутативно, ассоциативно и дистрибутивно относительно сложения и вычитания.

Задача 53. Найти произведение чисел: а) ; б) .

Решение. а) ; б) .

Задача 54. Найдите значение выражения .

Решение. Положительные рациональные числа .

Деление положительных рациональных чисел определяется как операция, обратная умножению, т.е. это такая операция, которая удовлетворяет условию: a : b = c тогда и только тогда, когда а = bc.

Из этого определения и правила нахождения произведения положительных рациональных чисел можно получить правило деления положительных рациональных чисел, представленных дробями и :