Положительным рациональным числом называется класс равных дробей, а каждая дробь, принадлежащая этому классу, есть запись (представление) этого числа.
Например, о дроби мы должны говорить, что она является записью некоторого рационального числа. Однако часто для краткости говорят:
– это рациональное число.
Множество всех положительных рациональных чисел принято обозначать символом Q+. Определим на этом множестве отношение равенства.
Если положительное рациональное число а представлено дробью , а положительное рациональное число b – другой дробью
, то а=b тогда и только тогда, когда mq=np.
Из данного определения следует, что равные рациональные числа представляются равными дробями.
Задача 48. Рациональное число представлено дробью . Может ли оно быть представлено дробью
?
Решение. Может, так как 15 × 147 = 21 × 105 = 2205, т.е. .
Если положительное рациональное число а представлено дробью , а положительное рациональное число b – дробью
, то их суммой называется число a + b, которое представляется дробью
.
Таким образом, по определению, .
В определении суммы рациональных чисел использованы их представления в виде дробей с одинаковыми знаменателями. Если же числа а и b представлены дробями с различными знаменателями, то сначала надо привести их к одному знаменателю, а затем применить указанное выше правило.
Сложение положительных рациональных чисел коммутативно и ассоциативно.
Задача 49. Доказать коммутативность сложения a + b = b + a.
Решение. Представим а и b дробями и
. Тогда сумма a + b представляется дробью
, а сумма b + a – дробью
. Так как m, p, n – натуральные числа, то m + p = p + m и, следовательно, a + b = b + a.
Задача 50. Выполнить сложение: а) ; б)
.
Решение. а) ; б)
.
Определение сложения положительных рациональных чисел дает возможность определить отношение «меньше» на множестве Q+.
Пусть а и b – положительные рациональные числа. Считают, что число b меньше числа а, если существует такое положительное рациональное число с, что а = b + c.
В этом же случае считают, что число а больше числа b. Пишут b < a, a > b.
Если рациональные числа a и b представлены дробями и
(т.е. дробями, имеющими одинаковые знаменатели), то a < b в том и только в том случае, когда m < p.
Если рациональные числа а и b представлены дробями и
(т.е. дробями, имеющими разные знаменатели), то a < b в том и только в том случае, когда mq < np.
Задача 51. Сравнить числа: а) и
; б)
и
.
Решение. а) <
, так как 5 < 7; б)
>
, так как 2 × 5 > 3 × 3.
Вычитание положительных рациональных чисел определяется как операция, обратная сложению, т.е. это такая операция, которая удовлетворяет условию: a – b = c тогда и только тогда, когда a = b + c.
Разность a – b положительных рациональных чисел существует тогда и только тогда, когда b < a. Если разность a – b существует, то она единственна.
Используя определение и условие существования разности, можно получить правило вычитания положительных рациональных чисел, представленных дробями и
, где m < p:
.
Задача 52. Найти разность чисел: а) ; б)
.
Решение. а) ; б)
.
Если положительное число а представлено дробью , а положительное рациональное число b – дробь
, то их произведением называется число ab, которое представляется дробью
.
Таким образом, по определению, .
Умножение положительных рациональных чисел коммутативно, ассоциативно и дистрибутивно относительно сложения и вычитания.
Задача 53. Найти произведение чисел: а) ; б)
.
Решение. а) ; б)
.
Задача 54. Найдите значение выражения .
Решение. .
Деление положительных рациональных чисел определяется как операция, обратная умножению, т.е. это такая операция, которая удовлетворяет условию: a : b = c тогда и только тогда, когда а = bc.
Из этого определения и правила нахождения произведения положительных рациональных чисел можно получить правило деления положительных рациональных чисел, представленных дробями и
:
.
Задача 55. Найти значения выражений: а) ; б)
.
Решение. а) ; б)
.
Упражнения для самостоятельной работы
1. Вычислите значения следующих выражений:
а) ; б)
; в)
; г)
;
д) ; е)
; ж)
.
2. Сравните числа:
а) и
; б)
и
; в)
и
; г)
и
.
3. Решите задачу арифметическим способом.
Прямоугольник разделили на 8 равных частей. Сначала закрасили прямоугольника, потом
, затем
. Весь ли прямоугольник закрасили?
4. Докажите ассоциативность умножения рациональных чисел.