Вход или регистрация

Признаки делимости

Признаком делимости на число b называется правило, позволяющее по записи числа a узнать, делится ли оно на b, не выполняя непосредственно деления числа a на b.

Признак делимости на 2. Для того чтобы число X делилось на 2, необходимо и достаточно, чтобы его десятичная запись оканчивалась одной из цифр 0, 2, 4, 6, 8.

Признак делимости на 5. Для того чтобы число X делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы его десятичная запись оканчивалась цифрой 0 или 5.

Признак делимости на 4. Для того чтобы число X делилось на 4, необходимо и достаточно, чтобы на 4 делилось двузначное число, образованное последними двумя цифрами десятичной записи числа X.

Признак делимости на 9. Для того чтобы число X делилось на 9, необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр его десятичной записи делилась на 9.

Признак делимости на 3. Для того чтобы число X делилось на 3, необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр его десятичной записи делилась на 3.

Признак делимости на 25. Для того чтобы число X делилось на 25, необходимо и достаточно, чтобы его десятичная запись оканчивалась на 00, 25, 50, 75.

Признак делимости Паскаля.

Число (1) делится на число b тогда и только тогда, когда на b делится сумма , где r1, r2, … , rn – остатки от деления на b разрядных единиц 10, 102, ..., 10n.

Доказательство. Разделим на b каждую из разрядных единиц числа х, получим: 10 = bq1 +r1, 102 = bq2 +r2, … , 10n-1 = bqn-1 +rn-1, 10n = bqn +rn, где q1, q2, … , qn-1, qn – частные, а r1, r2, … , rn-1, rn – остатки.

Подставим в равенство (1) вместо разрядных единиц соответствующие выражения и, используя свойства сложения и умножения, выполним преобразования:

. Если сумму обозначить буквой s, то будем иметь: . Разделим s на b: s=bq + r, где 0 ≤ r < b. Тогда

. Короче: х=b·Q+r, где и 0 ≤ r < b. Равенство х = b·Q+r означает, что r является остатком при делении х на b, причем r – число единственное согласно теореме о единственности частного и остатка при делении натуральных чисел. Таким образом, установлено, что при делении натурального числа на натуральное число b получается такой же остаток r, как и при делении на число b суммы s. Теорема доказана.

Используя признак делимости Паскаля, можно доказать следующий признак делимости чисел на 11: для того чтобы число делилось на 11, необходимо и достаточно, чтобы разность между суммой его цифр, стоящих на нечетных местах, и суммой цифр, стоящих на четных местах, делилась на 11.

Задача 26. Доказать, что число 540309 делится на 11, не выполняя деления.

Решение. Найдем разность между суммой цифр, стоящих на нечетных местах, и суммой цифр, стоящих на четных местах.

(4+3+9)-(5+0+0)=11. Т.к. , то число .

Задача 27. Доказать признак делимости на 5.

Решение. Пусть число x записано в десятичной системе счисления, т.е. , где коэффициенты an, an-1, …, a1 принимают значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, an≠0 и a0 принимает значения 0, 5. Докажем, что тогда .

Так как , то , , … , и, значит

По условию a0 тоже делится на 5, и поэтому число x можно рассматривать как сумму двух слагаемых, каждое из которых делится на 5. Следовательно, согласно признаку делимости суммы, число .

Докажем обратное: если число x делится на 5, то его десятичная запись оканчивается одной из цифр 0, 5.

Запишем равенство в таком виде: .

Но тогда, по теореме о делимости разности, , поскольку и . Чтобы однозначное число a0 делилось на 5, оно должно принимать значения 0, 5.

Задача 28. Доказать признак делимости на 3.

Решение. Докажем сначала, что числа вида делятся на 3. Действительно,

. Каждое слагаемое полученной суммы делится на 3, значит, и число делится на 3.

Пусть число и . Докажем, что тогда .

Преобразуем сумму , прибавив и вычтя из нее выражение и записав результат в таком виде:

В последней сумме каждое слагаемое делится на 3:

, так как ,

, так как и т.д.,

, так как ,

по условию.

Следовательно, .

Докажем обратное: т.е. если , то сумма цифр его десятичной записи делится на 3.

Равенство запишем в таком виде: . Так как в правой части этого равенства и уменьшаемое, и вычитаемое кратны 3, то по теореме о делимости разности , т.е. сумма цифр десятичной записи числа х делится на 3, что и требовалось доказать.

Задача 29. Не находя суммы чисел, установить, делится ли она на 3: 222111+25308+28056+13722.

Решение. Найдем сумму цифр каждого слагаемого: 2 + 2 + 2 + 1 + + 1 + 1 = 9; 2 + 5 + 3 + 0 + 8 = 18; 2 + 8 + 0 + 5 + 6 = 21; 1 +3 + 7 + 2 + 2 = 15. Так как , то ; , то ; , то ; ,
то . Тогда по теореме о делимости суммы .