Понятие дроби

В общем виде понятие дроби определяют так.

Пусть даны отрезок х и единичный отрезок е, длина которого Е. Если отрезок х состоит из т отрезков, равных n-ой части отрезка е, то длина отрезка х может быть представлена в виде , где символ называют дробью (и читают «эм энных»).

В записи дроби числа m и n – натуральные, m называется числителем, n – знаменателем дроби.

Дробь называется правильной, если ее числитель меньше знаменателя, и неправильной, если ее числитель больше знаменателя или равен ему.

Вообще длина одного и того же отрезка х при заданном единичном отрезке е может выражаться различными дробями, причем, если длина выражена дробью , то она может быть выражена и любой дробью вида , где k – натуральное число.

Для того чтобы дроби и выражали длину одного и того же отрезка, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство mq = np.

Две дроби и называются равными, если mq = np.

Если дроби равны, то пишут = .

Задача 45. Установить, равны ли дроби: а) и ; б) и .

Решение. а) = , так как 17×21 = 119×3=357;

б) ≠ , так как 17 × 27 = 459, 19 × 23 = 437 и 459 ≠437.

Из определения равных дробей вытекает основное свойство дроби. Напомним его.

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной.

На этом свойстве основано сокращение дробей и приведение дробей к общему знаменателю.

Сокращение дробей – это замена данной дроби другой, равной данной, но с меньшим числителем и знаменателем.

Если числитель и знаменатель дроби одновременно делятся только на единицу, то дробь называют несократимой.

Задача 46. Установить, является ли несократимой дробь:

а) ; б) .

Решение. а) – несократимая дробь, так как ее числитель и знаменатель делятся одновременно только на единицу, т.е. D(15; 34) = 1;

б) – сократимая дробь, так как ее числитель и знаменатель делятся одновременно на 12 = D(24; 36).

Приведение дроби к общему знаменателю – это замена данных дробей равными им дробями, имеющими одинаковые знаменатели. Общим знаменателем двух дробей и является общее кратное чисел n и q, а наименьшим общим знаменателем – их наименьшее кратное K(n,q).

Задача 47. Привести дроби к наименьшему общему знаменателю.

Решение. Разложим числа 15 и 35 на простые множители: 15 = 3 × 5, 35 = 5 × 7. Тогда К(15; 35) = 3 × 5 × 7 = 105. Поскольку 105 = 15 × 7 = 35 × 3, то , .