Уравнения с двумя переменными

Предикат вида f(x;y)= g(x;y) называют уравнением с двумя переменными.

Любая пара (a;b) значений переменных, обращающая уравнение f(x;y) = g(x;y) в истинное числовое равенство, называется решением этого уравнения, а множество всех таких пар – множеством решений этого уравнения.

Задача. Определить, являются ли пары (1; 5) и (–2; 7) решениями уравнения х + 2у = 12, и записать множество решений данного уравнения.

Решение. Если х = 1, а у = 5, то уравнение х + 2у = 12 обращается в неверное числовое равенство 1 + 2×5 = 12. Следовательно, пара (1; 5) не является решением уравнения.

Если х = –2, а у = 7, то данное уравнение обращается в верное равенство –2 + 2×7 = 12. Следовательно, пара (–2, 7) является решением уравнения х + 2у = 12.

Данное уравнение имеет бесконечное множество решений. Для записи этого множества удобно выразить одну переменную через другую, например, х через у. Получим:  х = 12 – 2у. Тогда множество Т решений этого уравнения можно записать так: Т = {(12 – 2y : y) |  yÎR}.

Упражнения для самостоятельной работы

1. Путем подбора найдите несколько решений каждого из следующих уравнений:

а) х – у = 5;            б) у = 3х;             в) 3х – 2у = 16.

2. Найдите три решения уравнения х + 2у = 7 и запишите множество решений этого уравнения.

3. Найдите пары чисел, разность которых равна 10. Сколько решений имеет задача?