Числовые неравенства

 Числовые неравенства обладают следующими свойствами:

1) если к правой и левой части прибавить или вычесть одно и то же числовое выражение, то получим истинное числовое неравенство;

2) если  правую и левую части умножить или разделить на одно и то же числовое выражение, имеющее положительное значение, и знак неравенства оставить без изменения, то получим истинное числовое равенство;

3) если  правую и левую части умножить или разделить на одно и то же числовое выражение, имеющее отрицательное значение, и знак неравенства изменить на противоположный, то получим истинное числовое равенство.

Неравенство вида a > b > c представляет собой конъюнкцию () числовых неравенств a > b и b > c.

Неравенство представляет собой дизъюнкцию () числового неравенства a > b (a < b) и числового равенства a = b. Например, 5 > 3 > 1 (5>3)(3>1) – истинно.

Задача. Определить, какие записи являются числовыми выражениями, числовыми равенствами, числовыми неравенствами:

а) 32;                     б) (43 + 13) + 7;            в) 76 – 6 = 70;     

г) 45 + d – 5;                  д) 3х + 5 = 34 : 2;                  е) 24 : 3 > 7 – 1.

Решение: а) 32 – числовое выражение, как и всякое другое число.

б) (43 + 13) + 7 –  числовое выражение, так как оно состоит чисел, знаков операций и скобок; 

в) 76 – 6 = 70 – не является числовым выражением, так как содержит знак « = », это числовое равенство;

г) 45 + d – 5 – не является числовым выражением, так как содержит букву; 

д) 3х + 5 = 34 : 2 не является числовым выражением и числовым равенством, так как содержит букву;

е) 24 : 3 > 7 – 1 – числовое неравенство

Задача.  Какие из следующих числовых выражений имеют смысл на множестве R, и какие не имеют:

;     .

Решение: .

Так как данное выражение имеет численное значение , то оно имеет смысл на множестве R;

.

Так как получили выражение, в знаменатели которого стоит нуль, а на нуль делить нельзя, то данное выражение не имеет смысла.

Задача. Определите, что больше, А или В, и во сколько раз:

А =  ,                    В = .

Решение:

А =    

 

В < A, A : B = 3,24 : 2 = 1,62. Значит А больше В в 1,62 раза.

Задача. Выполните действия:.

Решение:

Задача. Выполнить действия:.

Решение:

.

Упражнения для самостоятельной работы:

1) Вычислите: ;

2) Решите:  ;   

3) Сравните значения числовых выражений и поставьте соответствующий знак «<», «>» или «=»:  32,8 : 0,5 + 17  и  53,8 + 12,6 –
– (17,3 – 4,21)

4) Найдите значение выражения 
+ .

5) Имеет ли данное выражение значение на множестве R: .

6) Представьте следующие высказывания в виде конъюнкции или дизъюнкции высказываний и найдите их значения истинности:
а) 16  –11;   б) 32, 24 < 48;   в) 17  17;   г) 52  35 > 33.