Основные методы решения систем уравнений

Основные методы решения систем уравнений:

1. Метод подстановки: из какого-либо уравнения системы выражаем одно неизвестное через другое и подставляем во второе уравнение системы.

Задача. Решить систему уравнений:

Решение. Из первого уравнения системы выражаем у через х и подставляем во второе уравнение системы. Получим систему  равносильную исходной.

После приведения подобных членов система примет вид:

Из второго уравнения находим: . Подставив это значение в уравнение у = 2 – 2х, получим у = 3. Следовательно, решением данной системы является пара чисел .

2. Метод алгебраического сложения: путем сложения двух уравнений получить уравнение с одной переменной.

Задача. Решить систему уравнение:

Решение. Умножив обе части второго уравнения на 2, получим систему  равносильную исходной. Сложив два уравнения этой системы, придем к системе

После приведения подобных членов данная система примет вид:   Из второго уравнения находим . Подставив это значение в уравнение 3х + 4у = 5, получим , откуда . Следовательно, решением данной системы является пара чисел .

3. Метод введения новых переменных: ищем в системе некоторые повторяющиеся выражения, которые обозначим новыми переменными, тем самым упрощая вид системы.

Задача. Решить систему уравнений:

Решение. Запишем данную систему иначе:  

Пусть х + у = u, ху = v. Тогда получим систему

Решим ее методом подстановки. Из первого уравнения системы выразим u через v и подставим во второе уравнение системы. Получим систему  т.е.

Из второго уравнение системы находим v1 = 2, v2 = 3.

Подставив эти значения в уравнение u = 5 – v, получим u1 = 3,
u2 = 2. Тогда имеем две системы  

Решая первую систему, получим две пары чисел (1; 2), (2; 1). Вторая система решений не имеет.

Упражнения для самостоятельной работы

1. Решить системы уравнений методом подстановки:

а)                   б)                 в)       

2. Решить систему уравнений методом сложения:

а)                 б)                 в)     

3. Решить систему уравнений методом введения новых переменных:

а) б)        в)