Тождество

Два выражения называются тождественно равными на множестве, если они на этом множестве имеют смысл и все их соответственные значения равны.

Равенство, в котором левая и правая части – тождественно равные выражения, называется тождеством.

Замена одного выражения другим, тождественно равным ему на данном множестве, называется тождественным преобразованием выражения.

Задача. Найти область определения выражения .

Решение. Так как выражение  представляет собой дробь, то для нахождения его области определения нужно найти те значения переменной х, при которых знаменатель обращается в нуль, и исключить их. Решив уравнение х2 – 9 = 0, находим, что х = –3 и х = 3. Следовательно, область определения данного выражения состоит из всех чисел, отличных от –3 и от 3. Если обозначить ее через Х, то можно записать:

Х = (–¥; –3) È (–3; 3) È (3; +¥).

Задача. Являются ли выражения  и х– 2 тождественно равными: а) на множестве R; б) на множестве целых чисел, отличных от нуля?

Решение. а) На множестве R эти выражения не являются тождественно равными, так как при х = 0 выражение  не имеет значения, а выражение х – 2 имеет значение –2.

б) На множестве целых чисел, отличных от нуля, эти выражения являются тождественно равными, так как  = .

Задача. При каких значениях х являются тождествами следующие равенства:

а) ;     б) .

Решение. а) Равенство является тождеством, если ;

б) Равенство является тождеством, если .

Задача. Разложить на множители: a– 18a – b+ 81.

Решение:  a – 18a – b + 81 = a – 9