Системы и совокупности неравенств с одной переменной

Пусть даны два неравенства f1(x) > g1(x) и f2(x) > g2(x). Система неравенств представляет собой конъюнкцию этих неравенств. Записывают систему так:   

Решением этой системы является всякое значение переменной х, которое обращает каждое из неравенств в истинное числовое неравенство. Множество решений системы неравенств есть пересечение множеств решений неравенств, образующих данную систему.

Неравенство |x| < a, где а > 0, равносильно системе  или двойному неравенству ­–а < x < a.

Совокупность неравенств f1(x) > g1(x) и f2(x) > g2(x) представляет собой дизъюнкцию этих неравенств.

Записывают совокупность так:

Решением этой совокупности является всякое значение переменной х, которое обращает в истинное числовое неравенство хотя бы одно из неравенств совокупности. Множество решений совокупности есть объединение множеств решений неравенств, образующих совокупность.

Неравенство |x| > а, где а > 0, равносильно совокупности

Задача. Найти множество решений системы неравенств:

Решение. Найдем множества решений каждого из неравенств системы, а затем – их пересечение. Преобразуем каждое из неравенств к виду x > a или x < a.

 Û  Û

Û Û Û

Множество решений неравенства х > –7 есть числовой промежуток  (–7; ¥), а множество решений неравенства х < 7 – промежуток  (–¥; 7). Найдем их пересечение: (–7; ¥) Ç (–¥; 7) = (–7; 7). Таким образом, множеством решений данной системы является промежуток (–7; 7).

Задача. Решить неравенство |x + 3| £ 4.

Решение. Данное неравенство равносильно двойному неравенству  –4 £ x + 3 £ 4. Решая его, находим, что –7 £ x £ 1, т.е х Î [–7; 1].

Задача. Найти множество решений совокупности

Решение. Найдем сначала множества решений каждого из неравенств совокупности, а затем их объединение.

Преобразуем каждое из неравенств совокупности, заменяя его равносильным:   Û Û  Û

Множество решений неравенства х > 2 есть числовой промежуток (2; ¥), а множество решений неравенства х > 1 – промежуток (1; ¥). Найдем их объединение: (2; ¥) È (1; ¥) = (1; ¥). Следовательно, множество решений совокупности есть числовой промежуток (1; ¥).

Задача. Решить неравенство |x + 3| > 5.

Решение. Данное неравенство равносильно совокупности неравенств:

 Û 

Таким образом, решением полученной совокупности является числовой промежуток (–¥; –8) È (2; ¥).

Упражнения для самостоятельной работы

1. Найдите множества истинности следующих конъюнкций неравенств и изобразите их на числовой прямой:

а) (х > 3) Ù (х > 5);                   г) (х ³ –7) Ù (х ³ –9);

б) (х < 3) Ù (х < 5);                            д) (х > 4) Ù (х £ –2);

в) (х ³ –4) Ù (х £ –2);                         е) (х ³ –6) Ù (х < 11).

2. Решите системы неравенств:

а)                       б)

в)          г)

3. Найдите множества решений неравенств:

а) |x – 6| < 13;                                    в)  |3x – 6| £ 0;

б) |5 – 2x| £ 3;                                    г)  |3x – 8| < – 1.

4. Найдите множества истинности следующих дизъюнкций неравенств:

а) (х > –9) Ú (х > 1) Ú (х > 6);   г) (х < 2) Ú (х > 8);

б) (х £ –3) Ú (х < 7) Ú (х £ 0);   д) (х < 10) Ú (х > 7);

в) (х £ 4) Ú (х < 6) Ú (х ³ 8);               е) (х < 12) Ú (х > 5).

5. Решите следующие совокупности неравенств:

а)                       в)

б)                        г)

6. Найдите множества решений неравенств:

а) |x| > 6;                                  г)  |3x + 8| > 0;

б) |2x – 3| ³ 7;                                    д)  |2x + 4| ³ 0;

в) |3 – 7x| > 5;                                    е)  |9x – 18| > –1.

7. Решите системы и совокупности неравенств:

а)                         в)

б)                        г)