Степенная функция

Степенная функция у = kх; частный случай, когда n = 3, получаем кубическую функцию у =k х.

Свойства  функции у = k х:

1) область определения (–∞; +∞);

2) область значений (–∞; +∞);

3) функция  не ограничена  сверху и снизу;

4) не принимает наибольшее и наименьшее значение;

5) функция  является  не четной;

6) функция возрастает на  промежутке (–∞; +∞),  если k > 0; и убывает на  промежутке (–∞; +∞),  если k < 0,

7) проходит через начало координат;

8) график функции есть кубическая  парабола (рис. 9а, 9b).

Каждая функция представляет собой различную функциональную зависимость, которой пользуются при решении различных математических и текстовых задач

Задача. Найти область определения функции:

а) ,       б),                   в) ,

г) у = х – 4,           д).

Решение. Область определения функции D(y) – это множество допустимых значений переменной х.

В случае а) переменная х может принимать любое значение из множества R.

В случае б) переменная х находится в знаменателе дроби. Значит,      х – 5 0  и  х5. Т.е., областью определения данной функции будет множество действительных чисел, кроме 5.

В случае в), г) переменная х может принимать любое численное значение, следовательно, и область определения данной функции есть множество R.

В случае д) выражение под корнем должно быть больше или равно нулю, поэтому 1 – х  0. А это значит, что область определения данной функции (–∞; 1).

Задача. Указать область значений следующих функций: ;         у = (х + 5) – 3.

Решение: Для первой функции имеем: ;   . Значит областью значений будут являться все действительные числа, кроме 2:  Е(у) = (–∞; 2)(2; +∞).

Для второй функции:  (х + 5) 0;   (х + 5) – 3  –3. Значит, область значений должна быть больше или равна –3, т.е. Е(у) = (–3; + ∞).

Задача. Указать, какие из данных формул задают на множестве R действительных чисел функцию: у = 4х;   у = ;  х + у = 4;  х>1.

Решение: Формула задает функцию, если в ней (формуле) указывается, как по данному значению аргумента найти соответствующее значение функции. Первая и вторая формулы задают такую функцию, т.к. каждому действительному числу х можно, произведя указанные действия, поставить в соответствие единственное значение у, чего нельзя сказать про третий и четвертый случай.

Задача.  Определить, являются ли графиками функций следующие кривые на рис. 10 (a, b, c, d, e),  и почему:

Решение: Графиком функции является кривая, если каждому значению переменной х соответствует единственному значению переменной у. Этому условию подчиняются кривые на рис. 10 (a, d, e, f). Остальные кривые не являются графиками функций.