Операции над высказываниями

1. Операция отрицания.

Отрицанием высказывания А  называется высказывание, обозначаемое  (читается «не А», «неверно, что А»), которое истинно, когда А ложно и ложно, когда А – истинно.

Отрицающие друг друга высказывания  А и  называются противоположными.

Построим отрицание высказывания «число  =3,14». Это истинное высказывание. Тогда его отрицание будет следующим: «3,14» – ложное высказывание.

2. Операция конъюнкции.

Конъюнкцией высказываний А и В называется высказывание, обозначаемое АВ (читается «А и В»), истинные значения которого определяются в том и только том  случае, когда оба высказывания А и В истинны.

Конъюнкцию высказываний называют логическим произведением и часто обозначают АВ.

Пусть дано высказывание А – «в марте температура воздуха от 0С до +7С» и высказывание  В – «в Витебске идет дождь». Тогда АВ будет следующей: «в марте температура воздуха от 0С до +7С и в Витебске идет дождь». Данная конъюнкция будет истинной, если будут высказывания А и В истинными. Если же окажется, что температура была меньше 0С или в Витебске не было дождя, то АВ будет ложной.

3. Операция дизъюнкции.

Дизъюнкцией высказываний А и В называется высказывание АВ  (А или В), которое истинно тогда и только тогда, когда хотя бы одно из высказываний  истинно и ложно – когда оба высказывания ложны.

Дизъюнкцию высказываний называют также логической суммой А+В.

Высказывание «4<5 или 4=5» является истинным. Так как высказывание «4<5» – истинное, а высказывание «4=5» – ложное, то АВ            представляет собой истинное высказывание «45».

4. Операция импликации.

Импликацией высказываний А и В называется высказывание АВ («если А, то В», «из А следует В»), значение которого ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В ложно.

В импликации  АВ высказывание А называют основанием, или посылкой, а высказывание В – следствием, или заключением.

С помощью таблиц истинности это можно определить так:

Дано высказывание «Если число 12 делится на 2 и на 3, то оно делится на 6». Так как высказывание А –  «число 12 делится на 2» истинно, высказывание В – «число 12 делится на 3» также истинно, то и импликация АВ истинна.

5.  Эквиваленция высказываний.

Эквиваленцией высказываний А и В называется высказывание, обозначаемое АВ (А;В) (читается «А эквивалентно В», «А тогда и только тогда, когда В», «А необходимо и достаточно для В»), которое истинно тогда, когда А и В одновременно истинны или оба ложны.

Дано высказывание А – «число 5n делится на 2» и высказывание В – «число n является четным». Сформулируем эквиваленцию  АВ:

а)  число 5 делится на 2 тогда и только тогда, когда n – четное число;

b) условия: число 5n делится на 2 и что число n – четное, эквивалентны;

с)  для того чтобы число 5n делилось на 2, необходимо и достаточно, чтобы n было четным;

d) для того чтобы n было четным, необходимо и достаточно, чтобы число 5n делилось на 2;

e) из того, что 5n делится на 2, следует, что n число четное и обратно. 

Два высказывания, составленные из высказываний А, В, С, …               с помощью  знаков   ,  ,  ,  и отрицания называют равносильными, если они имеют одну и ту же истинность при любых предположениях об истинности и ложности    А, В, С, …

Например,  АВ = ВА,   АВ = В.

Составные высказывания, принимающие значения истинности при всех наборах значений входящих в них элементарных высказываний, называют тавтологиями. Их называют и тождественно-истинными высказываниями или законами логики.

А принимает значение истинности при любом наборе  истинности высказывания А. Значит, формула  А является тавтологией.

Пусть символы Х, Y, Z, …обозначают произвольные высказывания. Каждое из них представляет собой переменное, которое может принимать два значения И и Л, и называется переменным элементарным высказыванием. В отличие от переменного, элементарное высказывание, имеющее определенное значение И или Л, называется постоянным.

Переменные элементарные высказывания Х, Y, Z, …есть формулы.

Действия над числами в числовых выражениях выполняются в определенном порядке: умножение и деление, затем сложение и вычитание. Аналогично и в логике высказываний логические операции выполняют по следующему правилу: операцию конъюнкции раньше дизъюнкции, и обе эти операции выполняют раньше операций импликации и эквиваленции.

Указанное правило помогает сократить число скобок в формулах.

Если в формулу алгебры высказываний вместо переменных Х, Y, Z, … подставить высказывания определенной истинности, то получим составное высказывание также определенной истинности. Заменив в конкретном составном высказывании элементарные высказывания соответствующими переменными, получим формулу, выражающую логическую структуру данного высказывания.

Любое высказывание можно формализовать, то есть, заменить его формулой.

Например, высказыванию «если число 60 делится на 3 и на 5, то 60 делится на 15» соответствует формула (АВ)С, где А – «число 60 делится на 3», В – «число 60 делится на 5», С – «число 60 делится на 15».

Для формализации высказываний поступают следующим образом:

1)    выделяют все элементарные высказывания и обозначают их соответствующими буквами;

2)    выделяют все логические связки и заменяют их логическими символами;

3)    расставляют скобки в соответствии со смыслом исходного высказывания, учитывая при этом правило расстановки скобок.

Если известно значение каждого высказывания, входящего в формулу, то с помощью таблиц истинности можно найти значение этой формулы.

Для составления таблицы (см. табл. 7) выписываются сначала элементарные переменные высказывания Х и Y, затем более сложные высказывания      и , входящие в эту формулу, затем более сложные высказывания

Нетрудно установить, что таблица имеет 2строк, где n – число элементарных переменных в формуле (в случае двух переменных – 4 строки, трех – 8 строк и т.д.).

Для удобства пользования таблицами значения истинности переменных записываются «И», значения лжи – «Л».

Значения формулы при любой комбинации значений переменных высказываний можно описать посредством таблицы.

Формула, принимающая значение истины хотя бы при одном значении входящих высказываний, называется выполнимой.

Например, АВ,  АВ – выполнимые.

Формулы, принимающие значение истинности при всех наборах значений входящих в них высказывательных переменных, называются тождественно истинными формулами или тавтологиями.

Формулы, принимающие значение лжи при всех наборах значений входящих в них высказывательных переменных, называются тождественно ложными или противоречиями.

Если формулы при всех наборах истинности и лжи входящих высказывательных переменных принимают одинаковые значения, то их называют равносильными. Запись АВ читается так: А равносильно В.