Предикаты или высказывательная форма

Предложение А(х) с переменной х, где хХ, которое в результате замены переменной допустимыми значениями обращается в высказывание, называется предикатом или высказывательной формой.

В зависимости  от числа переменных различают одноместные, двухместные, трехместные и т.д. предикаты:  А(х);  В(х, у);  С(х, у, z) и т.д.

Например: х >5 – одноместный предикат;  х делится на у – двухместный;  х + 2у = z – трехместный предикат.

Множество всех допустимых значений переменной, при подстановке которых в предикат Р(х) получается истинное или ложное высказывание, называют областью определения предиката.

Предикат считается заданным, если указать множество всех допустимых значений переменной. Например: предикат 3х + 7 = 15 может быть задан на множестве натуральных чисел N, или на множестве действительных чисел R.

Если множество истинности Тp предиката Р(х) совпадает с множеством Х, на котором он задан (Тp= Х), то такой предикат называют тождественно истинным.

Если множество истинности предиката Р(х) пусто (Тp = ), то   предикат называют тождественно ложным. Два предиката  Р(х) и  Q(x)  называют равносильными, если они заданы на одном и том же множестве Х и их множества истинности совпадают.

       Пример.   Даны предикаты   Р(х) : х= 9   и   Q(x): (х – 3)(х + 3) = 0 на множестве Z. Так как   =    ={–3; 3}, значит, данные предикаты равносильны.

       Множество истинности двухместного предиката Р(х,у) состоит из всех пар (a; b), при подстановке которых в этот предикат получается истинное высказывание. Например,  если Р(х;у) предикат «х делится на у» на множестве Z,  то, так как «6 делится на 3» – истинное высказывание, значит  (6; 3) .

       Соответственно определяется множество истинности и для любого многоместного предиката.

       Над предикатами, как и над высказываниями можно выполнять логические операции.