Умозаключения. Виды умозаключений

Свойства основных понятий раскрываются в аксиомах – предложениях, принимаемых без доказательства.

Например, в школьной геометрии есть аксиомы: «через любые две точки можно провести прямую и только одну» или «прямая разбивает плоскость на две полуплоскости».

Система аксиом любой математической теории, раскрывая свойства основных понятий, дает их определения. Такие определения называют аксиоматическими.

Доказываемые свойства понятий называют теоремами, следствиями, признаками, формулами, правилами.

Доказать теорему АВ – это значит установить логическим путем, что всегда, когда выполняется свойство А, будет выполняться свойство В.

Доказательством в математике называют конечную последовательность предложений данной теории, каждое из которых либо является аксиомой, либо выводится из одного или нескольких предложений этой последовательности по правилам логического вывода.

В основе доказательства лежит рассуждение – логическая операция, в результате которой из одного или нескольких взаимосвязанных по смыслу предложений получается предложение, содержащее новое знание.

В качестве примера рассмотрим рассуждение школьника, которому надо установить отношение «меньше» между числами 7 и 8. Учащийся говорит: «7 < 8, потому что при счете 7 называют раньше, чем 8».

Выясним, на какие факты опирается вывод, полученный в этом рассуждении.

Таких фактов два: Первый: если число а при счете называют раньше числа b, то a < b. Второй: 7 при счете называют раньше, чем 8.

Первое предложение носит общий характер, так как содержит квантор общности – его называют общей посылкой. Второе предложение касается конкретных чисел 7 и 8 – его называют частной посылкой. Из двух посылок получен новый факт: 7 < 8, его называют заключением.

Между посылками и заключением существует определенная связь, благодаря которой они и составляют рассуждение.

Рассуждение, между посылками и заключением которого имеет место отношение следования, называют дедуктивным.  

В логике вместо термина «рассуждения» чаще используется слово «умозаключение».

Умозаключение – это способ получения нового знания на основе некоторого имеющегося.

Умозаключение состоит из посылок и заключения.

Посылки – это высказывания, содержащие исходное знание.

Заключение – это высказывание, содержащее новое знание, полученное из исходного.

Как правило, заключение отделяется от посылок с помощью слов «следовательно», «значит». Умозаключение с посылками р1, р2, …, рn  и заключением  Р  будем записывать в виде:  или  (р1, р2, …, рn)  Р.

Примеры умозаключений:  а) Число а = b. Число b = с. Следовательно, число а = с.

b)  Если в дроби числитель меньше знаменателя, то дробь правильная. В дроби  числитель меньше знаменателя (5<6). Следовательно,  дробь    – правильная.

с) Если идет дождь, то на небе есть тучи. На небе есть тучи, следовательно, идет дождь.          

Умозаключения могут быть правильными и неправильными.

Умозаключение называется правильным, если формула, соответствующая его структуре и представляющая собой конъюнкцию посылок, соединенная с заключением знаком импликации тождественно истинна.

Для того чтобы установить, является ли умозаключение правильным, поступают следующим образом:

1)    формализуют все посылки и заключение;

2)    записывают формулу, представляющую конъюнкцию посылок, соединенную знаком импликации с заключением;

3)    составляют таблицу истинности для данной формулы;

4)    если формула тождественно-истинна, то умозаключение правильное, если нет – то умозаключение неправильное.

В логике считают, что правильность умозаключения определяется его формой и не зависит от конкретного содержания входящих в него утверждений. И в логике предлагаются такие правила, соблюдая которые, можно строить дедуктивные умозаключения. Эти правила называют правилами вывода или схемами дедуктивных рассуждений.

Правил много, но наиболее часто используются следующие:

1.    – правило заключения;

  2.    – правило отрицания;

   3.   – правило силлогизма.

Приведем пример умозаключения, выполненного по правилу заключения: «Если запись числа х оканчивается цифрой 5, то число х делится  на 15. Запись числа 135 оканчивается цифрой 5. Следовательно, число 135 делится на 5».

В качестве общей посылки в этом умозаключении выступает утверждение «если А(х), то В(х)», где А(х) – это «запись числа х оканчивается цифрой 5», а В(х) – «число х делится на 5». Частная посылка представляет собой высказывание, которое получилось из условия общей посылки при
х = 135 (т.е. А(135)). Заключение является высказыванием, полученным из В(х) при х = 135 (т.е. В(135)).

Приведем пример умозаключения, выполненного по правилу отрицания: «Если запись числа х оканчивается цифрой 5, то число х делится на 5. Число 177 не делится на 5. Следовательно, оно не оканчивается цифрой 5».

Видим, что в этом умозаключении общая посылка такая же как и в предыдущем, а частная представляет собой отрицание высказывания «число 177 делится на 5» (т.е. ). Заключение – это отрицание предложения «Запись числа 177 оканчивается цифрой 5» (т.е. ).

И наконец, рассмотрим пример умозаключения, построенного по правилу силлогизма: «Если число х кратно 12, то оно кратно 6. Если число х кратно 6, то оно кратно 3. Следовательно, если число х кратно 12, то оно кратно 3».

В этом умозаключении две посылки: «если А(х), то В(х)» и «если В(х), то С(х)», где А(х) – «число х кратно 12», В(х) – «число х кратно 6» и С(х) – «число х кратно 3». Заключение представляет собой высказывание «если А(х), то С(х)».

Проверим, правильны ли следующие умозаключения:

1) Если четырехугольник – ромб, то его диагонали взаимно перпендикулярны. АВСD – ромб. Следовательно, его диагонали взаимно перпендикулярны.

2) Если число делится на 4, то оно делится на 2. Число 22 делится   на 2. Следовательно, оно делится на 4.

3) Все деревья являются растениями. Сосна – дерево. Значит, сосна – растение.

4) Все учащиеся данного класса ходили в театр. Петя не был в театре. Следовательно, Петя – учащийся не данного класса.

5) Если числитель дроби меньше знаменателя, то дробь правильная. Если дробь правильная, то она меньше 1. Следовательно, если числитель дроби меньше знаменателя, то дробь меньше 1.

Решение: 1) Для решения вопроса о правильности умозаключения выявим его логическую форму. Введем обозначения: С(х) – «четырехугольник х – ромб», В(х) – «в четырехугольнике х диагонали взаимно перпендикулярны». Тогда первую посылку можно записать в виде:
С(х) В(х), вторую – С(а), а заключение В(а).

Таким образом, форма данного умозаключения такова: . Оно построено по правилу заключения. Следовательно, данное рассуждение правильное.

2) Введем обозначения: А(х) – «число х делится на 4», В(х) – «число х делится на 2». Тогда первую посылку запишем: А(х) В(х),   вторую В(а), а заключение – А(а).  Умозаключение примет форму:   .

Такой логической формы среди известных нет. Легко заметить, что обе посылки истинны, а заключение ложно.

Значит, что данное рассуждение неправильное.

3) Введем обозначения. Пусть А(х) – «если х дерево», В(х) – «х растение». Тогда посылки примут вид: А(х)В(х), А(а), а заключение В(а). Наше умозаключение построено по форме:  – правила заключения.  

Значит, наше рассуждение построено верно.

4) Пусть А(х) – «х – учащиеся нашего класса», В(х) – «учащиеся х ходили в театр». Тогда посылки будут следующими: А(х)В(х), , а заключение .

Данное умозаключение построено по правилу  отрицания:

    – значит оно верное.

5) Выявим логическую форму умозаключения. Пусть А(х) – «числитель дроби  х меньше знаменателя». В(х) – «дробь х – правильная». С(х) – «дробь х меньше 1». Тогда посылки примут вид: А(х)В(х), В(х) С(х), а заключение А(х) С(х).

Наше умозаключение будет следующей логической формы:  – правило силлогизма.

Значит, данное  умозаключение верно.

В логике рассматривают различные способы проверки правильности умозаключений, среди которых анализ правильности умозаключений с помощью кругов Эйлера. Его проводят следующим образом: записывают умозаключение на теоретико-множественном языке; изображают посылки на кругах Эйлера, считая их истинными; смотрят, всегда ли при этом истинно заключение. Если да, то говорят, что умозаключение построено правильно. Если же возможен рисунок, из которого видно, что заключение ложно, то говорят, что умозаключение неправильно.

Таблица 9

Словесная формулировка предложения	Запись на теоретико- множественном языке	Изображение на кругах Эйлера
Всякое А есть В	АВ	А                          В
Некоторые А есть В Некоторые А не есть В	А	А           В
Ни одно А не есть В	А	А                 В

а  есть А	аА	а               А
а не есть А	аА	А а

Покажем, что умозаключение, выполненное по правилу заключения, является дедуктивным. Сначала запишем это правило на теоретико-множественном языке.

Посылка А(х)В(х) может быть записана в виде ТАТВ, где ТА и  ТВ – множества истинности высказывательных форм А(х) и В(х).

Частная посылка А(а) означает, что аТА, а заключение В(а) показывает, что  аТВ.

Все умозаключение , построенное по правилу заключения, запишется на теоретико-множественном  языке так:  .

	Изобразив на кругах Эйлера множества  ТА и ТВ  и обозначив элемент  аТА, мы увидим, что  аТВ (рис. 58). Значит,  аТ  аТ .

 

                                                                                                 ТВ

                                                                                        ТА

                                                                               а

                                                                  

                                                                                                                                           Рис. 58.

Примеры.

1. Правильно ли умозаключение «Если запись числа оканчивается цифрой 5, то число делится на 5. Число 125 делится на 5. Следовательно, запись числа 125 оканчивается цифрой 5»?

       Решение: Это умозаключение выполнено по схеме , что соответствует . Такой схемы среди известных нам нет. Выясним, является ли она правилом дедуктивного умозаключения?

Воспользуемся кругами Эйлера. На теоретико-множественном языке

полученное правило можно  записать так:

.  Изобразим на кругах Эйлера множества  ТА  и  ТВ  и обозначим элемент а из множества ТВ.

Оказывается, что он может содержаться в множестве ТА, а может и не принадлежать ему (рис. 59). В логике считают, что такая схема не является правилом дедуктивного умозаключения, так как не гарантирует истинности заключения.

Данное умозаключение не является правильным, так как выполнено по схеме, не гарантирующей истинности рассуждения.                                                                                                           

 

                                                                                   

                                                                                                                                                                                    Рис. 59.

        б) Все глаголы отвечают на вопрос «что делать?» или «что сделать?». Слово «василек» не отвечает ни на один из этих вопросов. Следовательно, «василек» не является глаголом.

Решение: а) Запишем данное умозаключение на теоретико-множественном языке. Обозначим через А – множество студентов педагогического факультета, через  В – множество студентов, являющихся учителями, через С – множество студентов, старше 20 лет.

Тогда умозаключение примет вид: .

Если изобразить данные множества на кругах, то возможно 2 случая:

1) множества А, В, С пересекаются;

2) множество В пересекается с множеством С и А, а множество А пересекается с В, но не пересекается с С.

 

б) Обозначим через А множество глаголов, а через В множество слов, отвечающих на вопрос «что делать?» или «что сделать?».

       Тогда умозаключение можно записать в следующем виде:

. Изобразив посылки на кругах Эйлера (рис. 68), видим, что в этом случае аА, т.е. заключение истинно. Это значит, что умозаключение построено правильно.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1.  Ученику предлагается объяснить, почему число 23 можно представить в виде суммы 20 + 3. Он рассуждает: «Число 23 – двузначное. Любое двузначное число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых. Следовательно, 23 = 20 + 3».

Первое и второе предложения в этом умозаключении посылки, причем одна общего характера – это высказывание «любое двузначное число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых», а другая – частная, она характеризует только число 23 – оно двузначное. Заключение – это предложение, которое стоит после слова «следовательно», – также носит частный характер, так как в нем речь идет о конкретном числе 23.

Умозаключения, которые обычно используются при доказательствах теорем, основаны на понятии  логического следования. При этом из определения логического следования вытекает, что при всех значениях высказывательных переменных, при которых истинны исходные высказывания (посылки), истинно и заключение теоремы. Такие умозаключения дедуктивные.

В примере, рассмотренном выше, приведенное умозаключение является дедуктивным.

Пример 2. Один из приемов ознакомления младших школьников с переместительным свойством умножения заключается в следующем. Используя различные средства наглядности, школьники вместе с учителем устанавливают, что, например, 63 = 36,   52 = 25. Затем на основе полученных равенств делают вывод: для всех натуральных чисел a и b верно равенство  ab = ba.

В данном умозаключении посылками являются первые два равенства. В них утверждается, что для конкретных натуральных чисел выполняется такое свойство. Заключением в данном примере является утверждение общего характера – переместительное свойство умножения натуральных чисел.

В данном умозаключении посылки частного характера показывают, что некоторые  натуральные числа обладают свойством: от перестановки множителей произведение не изменяется. И на этой основе сделан вывод, что этим свойством обладают все натуральные числа. Такие умозаключения называют неполной индукцией.

Неполная индукция – это умозаключение, в котором на основании того, что некоторые объекты класса обладают определенным свойством, делается вывод о том, что этим свойством обладают все объекты данного класса.

Неполная индукция не является дедуктивным умозаключением, поскольку, рассуждая по такой схеме, можно прийти к ложному выводу.

Например, рассмотрим такие выражения: 3 + 5 и 35; 2 + 7 и 27. Видим, что 3 + 5 < 35; 2 + 7 < 27, т.е. для некоторых натуральных чисел можно утверждать, что сумма меньше их произведения. Значит, на основании, что некоторые числа обладают данным свойством, можно сделать вывод, что этим свойством обладают все натуральные числа:

         a + b < a  b.

Но это утверждение ложно, в чем можно убедиться с помощью контрпримера: числа 1 и 2 – натуральные, но 1 + 2 > 12.

Поэтому выводы, полученные с помощью неполной индукции, необходимо либо доказывать, либо опровергать.

Пример 3. При обучении  делению на однозначное число используется такой прием. Сначала выясняется: чтобы найти значение выражения 12 : 4, следует узнать, на какое число надо умножить делитель 4, чтобы получить делимое 12. Известно, что 43 = 12. Значит, 12 : 4 = 3.

Данный пример – это пример рассуждения по аналогии.

Под аналогией понимают умозаключение, в котором на основании сходства двух объектов в некоторых признаках и при наличии дополнительного признака у одного из них делается вывод о наличии такого же признака у другого объекта.

Вывод по аналогии носит характер предположения, гипотезы и поэтому нуждается либо в доказательстве, либо в опровержении.