Виды прямого доказательства

Прямые доказательства делятся на синтетические и аналитические.

1. Синтетический метод доказательства.

Доказательство математического предложения А Þ В называют синтетическим, если оно осуществляется по следующей логической схеме:

(А Ù Т)Þ А1 Þ А2 Þ … Þ Аn Þ В,

где Т – определенная совокупность предложений той математической теории, в рамках которой доказывается данное предложение и которой принадлежит конечная последовательность предложений А1 , А2 , …, Аn, составляющих доказательство, а также суждения А и В.

Синтетическое доказательство предложения начинается с выведения некоторого следствия А1 из условия А (или его части) с использованием определенных, связанных с условием предложений Т, истинность которых уже была установлена. Затем аналогично из А1 получают следствие А2 и так далее до тех пор, пока не получат в качестве следствия заключение доказываемого предложения В. Это дает строгое доказательство предложения.

Пример. Доказать, что если в четырехугольнике противоположные стороны равны, то четырехугольник – параллелограмм.

Выполним дополнительное построение: проведем диагональ АС. Тогда:

1) (АВ = DC; BC = AD, AC – общая) Þ

(DАВС = DСDA) (на основании третьего признака равенства треугольников);                                    

2) (DАВС = DСDA, АВ = DC) Þ                                          Рис. 64.

Þ (ÐACB = ÐCAD);

3) (DАВС = DСDA, ВC = AD) Þ (ÐBAC = ÐACD) (на основании определения равенства двух треугольников);

4) п. 2 Þ (BC || AD);

5) п. 3 Þ (AB || DC) (на основании признака параллельности двух прямых);

6) (пп. 4 и 5) Þ (ABСD – параллелограмм) (на основании определения  параллелограмма).

2. Восходящий анализ (анализ Панна). При доказательстве методом восходящего анализа отталкиваются от заключения теоремы и подбирают для него достаточные условия. В символической записи процесс доказательства можно представить следующим образом. Пусть «А Þ В» – данная теорема. Для заключения В подбираем достаточное условие А1, т.е. такое условие, что А1 Þ В. Для А1, в свою очередь, находимо достойное условие А2: А2 Þ А1 и т.д. Подбор достаточных условий продолжается до тех пор, пока для какого-либо Аn достаточным условием окажется условие теоремы, т.е. условие А: А Þ Аn. В итоге доказательство теоремы завершается:
А Þ Аn, Аn Þ Аn-1, …, А2 Þ А1, А1 Þ В. Следовательно, АÞ В.

Приведем доказательство теоремы: «Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то четырехугольник – параллелограмм» методом восходящего анализа.

1) Для доказательства того, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, достаточно доказать, что BC || AD и AB || СD. (А1)

2) Для доказательства параллельности сторон четырехугольника достаточно доказать равенство накрест лежащих углов, образуемых при пересечении двух прямых третьей. (А2)

3) Такие накрест лежащие углы можно получить, если провести диагональ АС: ÐACB и ÐCAD; ÐВAC и ÐAСD. (А3)

4) Для доказательства равенства ÐACB = ÐCAD и ÐВAC = ÐAСD достаточно доказать равенство треугольников AВC и CDА. (А4)

5) Для доказательства равенства треугольников AВC и CDА достаточно установить справедливость равенств: AD = BC, AB = DC, AC =
= AC, а эти равенства выполняются. (А)

Теорема доказана.

3. Нисходящий анализ (анализ Евклида).

При нисходящем анализе рассуждения также начинают с заключения теоремы, однако подбирают уже не достаточные, а необходимые условия. Выведение необходимых условий продолжают до тех пор, пока не придут к очевидному следствию, представляющему собой или условие теоремы, или ранее изученное предложение. Если окажется возможным провести рассуждения в обратном порядке, при котором условие теоремы или очевидное предложение выступают отправной посылкой, то получим искомое доказательство.

Итак, пусть А Þ В – данная теорема. Допустим, что из заключения теоремы В выводится следствие В1: В Þ В1, из В1, в свою очередь, – следствие В2 и т.д.:

В Þ В1, В1 Þ В2, … Вn-1 Þ Вn , Вn Þ A. (1)

Если возможно провести рассуждения в обратном порядке: А Þ Вn , Вn Þ Вn-1 , …, В2 Þ В1 , В1 Þ В, (2)

то получим доказательство теоремы.

Понятно, что цепочка рассуждений (1) не является доказательством теоремы. Цель ее – найти доказательство (2).

Если обратиться к рассмотренной выше теореме, то нисходящий анализ может быть проведен следующим образом:

1.    Пусть ABCD – параллелограмм. (В)

2. Тогда BC || AD и AB || DC. (В1)

3. Тогда ÐACB = ÐCAD, ÐВAC = ÐAСD (как накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей). (В2)

4. Из равенства этих углов с учетом того, что АС – общая сторона DАВС и DСDA, следует: DАВС = DСDA. (В3)

5. Тогда AD = BC, AB = DC, AC = AC. (A)

Итак, В Þ В1, В1 Þ В2, В2 Þ В3, В3 Þ A.

Нетрудно теперь эти рассуждения провести в обратном порядке. В итоге получим синтетическое доказательство.

Если не понимать недостаточность цепочки рассуждений (1) и обязательность перехода к цепочке рассуждений (2), то смысл применения данного метода утрачивается.